14. Particules identiques
645
Vérifier les RAC (14.48) en utilisant les propriétés du facteur η i (14.45).
2. Soit S une matrice unitaire. Définissons les opérateurs b j àp a r t i rd e s
c i par
b j =
k
S jk c k
Montrer que cette transformation est une transformation canonique, c’est-àdire qu’elle préserve les relations d’(anti)commutation
{b j ,b
†
m } = δ jm I
{b j ,b m } = {b
†
j ,b
†
m } =0
Au lieu d’une base de fonctions d’onde orthonormées u i ( r ) (14.54), on choisit
une autre base
v j =
k
S
−1
jk u k
Montrer que l’opérateur de champ est
ψ( r )=
j
b j v j ( r )
3. Montrer que la fonction d’onde (14.62) est identique au déterminant de
Slater (14.41). Suggestion : les niveaux étant rangés dans l’ordre
α 1 <α 2 < ···<α N
montrer que le terme
u α1 ( r 1 ) u α2 ( r 2 ) ···u αN ( r N )
a le même signe que dans le développement du déterminant de Slater.
14.5.7 Hiérarchie BBGKY et approximation de
Hartree-Fock
1. On définit la matrice statistique à une particule (à un facteur multiplicatif N près) pour un état à N fermions |Φ N par
ρ
(1) ( x, , y )=Φ N |ψ
† ( y )ψ( x )|Φ N = x |ρ
(1) | y
(14.128)
Montrer que
Tr ρ
(1) =
d
3 zρ
(1) ( z, z )=N
Quelle est l’interprétation physique de ρ
(1) ( z, z ) ?É c r i r eTr ρ
(1) en terme de
la fonction d’onde Φ N ( x 1 ,, x 2 , ··· ,, x N )
ρ
(1) ( x, , y )=N
d
3 x 2 ···d
3 x N Φ
∗
N ( y, , x 2 , ··· ,, x N )Φ N ( x, , x 2 , ··· ,, x N )