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Physique quantique : Exercices et applications
14.5.8 Approximation semi-classique pour la
condensation dans un piège
1. On se propose d’étudier la condensation de Bose-Einstein pour des
bosons non-relativistes de spin zéro et de masse m,s o u m i sàu np o t e n t i e l
extérieur U ( r ) supposé lentement variable dans l’espace. En examinant le décompte des niveaux dans une boîte de volume ℓ
3 telle que U ( r ) soit lentement
variable sur une distance ℓ, montrer que la densité de niveaux s’écrit
ρ(ε)=
2π (2m)
3/2
h 3
d
3 r
ε − U ( r ) θ[ε − U ( r )]
où θ(x) représente la fonction de Heaviside. Une deuxième méthode consiste
à utiliser une approximation semi-classique de la densité d’états
ρ(ε)=
d
3 p d
3 r
h 3 δ[ε − H( p, , r )]
Écrire le hamiltonien H( p, , r ) d’une particule et retrouver le résultat précédent
pour ρ(ε). Dans le cas de bosons libres confinés dans une boîte de volume V,
que vaut U ( r) ? Retrouver dans ce cas l’expression usuelle de ρ(ε).
2. On prend pour U ( r ) l’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique
U ( r)=
1
2
mω
2 r
2
Calculer ρ(ε). On donne
1
0
duu
2 (1 − u
2 )
1/2 =
π
16
Par un choix judicieux du zéro d’énergie, le potentiel chimique peut être choisi
nul à la transition de Bose-Einstein. Retrouver (14.94).
3. Dans l’expérience de Mewes et al. [1996], des atomes de sodium sont
confinés dans un piège magnétique et leur énergie potentielle est celle d’un
oscillateur harmonique tridimensionnel de fréquence ω =2 π × 122 Hz ; le
nombre d’atomes dans le piège est N =1 5× 10
6 . Quelle est la température de transition ? (En réalité le piège est asymétrique, et ω représente une
valeur moyenne).
4. Revenant à une énergie potentielle quelconque, montrer que pour T =
T C la densité de particules en fonction de r est donnée par
n( r )=
2π (2m)
3/2
h 3
∞
U( r)
ε − U ( r )
1/2
e βε − 1
dε
Quel choix a-t-on fait pour le zéro d’énergie ? Montrer qu’à la transition
n( r =0)=
2πmk B T C
2
3/2
ζ(3/2)
Physique quantique : Exercices et applications
14.5.8 Approximation semi-classique pour la
condensation dans un piège
1. On se propose d’étudier la condensation de Bose-Einstein pour des
bosons non-relativistes de spin zéro et de masse m,s o u m i sàu np o t e n t i e l
extérieur U ( r ) supposé lentement variable dans l’espace. En examinant le décompte des niveaux dans une boîte de volume ℓ
3 telle que U ( r ) soit lentement
variable sur une distance ℓ, montrer que la densité de niveaux s’écrit
ρ(ε)=
2π (2m)
3/2
h 3
d
3 r
ε − U ( r ) θ[ε − U ( r )]
où θ(x) représente la fonction de Heaviside. Une deuxième méthode consiste
à utiliser une approximation semi-classique de la densité d’états
ρ(ε)=
d
3 p d
3 r
h 3 δ[ε − H( p, , r )]
Écrire le hamiltonien H( p, , r ) d’une particule et retrouver le résultat précédent
pour ρ(ε). Dans le cas de bosons libres confinés dans une boîte de volume V,
que vaut U ( r) ? Retrouver dans ce cas l’expression usuelle de ρ(ε).
2. On prend pour U ( r ) l’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique
U ( r)=
1
2
mω
2 r
2
Calculer ρ(ε). On donne
1
0
duu
2 (1 − u
2 )
1/2 =
π
16
Par un choix judicieux du zéro d’énergie, le potentiel chimique peut être choisi
nul à la transition de Bose-Einstein. Retrouver (14.94).
3. Dans l’expérience de Mewes et al. [1996], des atomes de sodium sont
confinés dans un piège magnétique et leur énergie potentielle est celle d’un
oscillateur harmonique tridimensionnel de fréquence ω =2 π × 122 Hz ; le
nombre d’atomes dans le piège est N =1 5× 10
6 . Quelle est la température de transition ? (En réalité le piège est asymétrique, et ω représente une
valeur moyenne).
4. Revenant à une énergie potentielle quelconque, montrer que pour T =
T C la densité de particules en fonction de r est donnée par
n( r )=
2π (2m)
3/2
h 3
∞
U( r)
ε − U ( r )
1/2
e βε − 1
dε
Quel choix a-t-on fait pour le zéro d’énergie ? Montrer qu’à la transition
n( r =0)=
2πmk B T C
2
3/2
ζ(3/2)