14. Particules identiques
641
L’équation (14.123) définit une loi de dispersion pour les excitations élémentaires,o uquasi-particules : l’opérateur b
†
k
appliqué à |Ψ 0 crée une excitation
élémentaire d’impulsion k et d’énergie ε k , et le condensat se comporte comme
un gaz d’excitations élémentaires indépendantes. Pour des petites valeurs de
k, on trouve une loi de dispersion linéaire
ε k ≃
nW 0
m
k =
4π
2 na
m 2
k = c s k
(14.125)
Ce calcul confirme que l’on doit avoir a>0 :l ec a sa<0 conduit à des
instabilités, car l’argument de la racine carrée dans (14.123) peut devenir
négatif. L’équation (14.125) définit une vitesse du son c s = nW 0 /m.L e s
excitations élémentaires dans le condensat sont donc des phonons, comme
ceux de l’hélium
4 . La densité d’atomes dans les états excités peut se calculer
comme
n exc =
1
V
k =0
v
2
k
=
d
3 k
(2π) 3 v
2
k
=
1
3π 2
mc s
3
équation qui se met sous la forme
n exc
n
=
8
3
√
π
(na
3 )
1/2
(14.126)
Notre approximation de départ (14.118) reposait sur la condition n exc /n ≪ 1.
La cohérence de notre calcul implique la condition (na
3 )
1/2 ≪ 1,e tl ep e t i t
paramètre est (na
3 )
1/2 . Le calcul de l’énergie de l’état fondamental E 0 est
plus délicat. Comme l’état fondamental est caractérisé par b k |Ψ 0 =0 ,o n
pourrait naïvement penser que
E 0
V
=
n
2 W 0
2
−
1
2V
k =0
(ε
0
k
+ nW 0 − ε k )
mais ce résultat est incorrect, parce que l’on utilise le potentiel (14.97) en dehors de son domaine de validité, et il faut revenir au pseudo-potentiel (14.96).
Le calcul correct (Huang [1963] chapitre 19) donne
E 0
V
=
n
2 W 0
2
1+
128
15
√
π
(na
3 )
1/2
(14.127)
En résumé, le petit paramètre de l’approximation de Bogoliubov est (na
3 )
1/2 .
La condition (na
3 )
1/2 ≪ 1 est précisément celle de validité de l’approximation
de Born pour le pseudo-potentiel, et elle est bien vérifiée dans des conditions
expérimentales typiques où ce paramètre < ∼ 1 %. Il reste à généraliser l’approximation de Bogoliubov au cas d’un piège non invariant par translation.
Cette généralisation est possible, et nous renvoyons le lecteur intéressé à la
bibliographie.
641
L’équation (14.123) définit une loi de dispersion pour les excitations élémentaires,o uquasi-particules : l’opérateur b
†
k
appliqué à |Ψ 0 crée une excitation
élémentaire d’impulsion k et d’énergie ε k , et le condensat se comporte comme
un gaz d’excitations élémentaires indépendantes. Pour des petites valeurs de
k, on trouve une loi de dispersion linéaire
ε k ≃
nW 0
m
k =
4π
2 na
m 2
k = c s k
(14.125)
Ce calcul confirme que l’on doit avoir a>0 :l ec a sa<0 conduit à des
instabilités, car l’argument de la racine carrée dans (14.123) peut devenir
négatif. L’équation (14.125) définit une vitesse du son c s = nW 0 /m.L e s
excitations élémentaires dans le condensat sont donc des phonons, comme
ceux de l’hélium
4 . La densité d’atomes dans les états excités peut se calculer
comme
n exc =
1
V
k =0
v
2
k
=
d
3 k
(2π) 3 v
2
k
=
1
3π 2
mc s
3
équation qui se met sous la forme
n exc
n
=
8
3
√
π
(na
3 )
1/2
(14.126)
Notre approximation de départ (14.118) reposait sur la condition n exc /n ≪ 1.
La cohérence de notre calcul implique la condition (na
3 )
1/2 ≪ 1,e tl ep e t i t
paramètre est (na
3 )
1/2 . Le calcul de l’énergie de l’état fondamental E 0 est
plus délicat. Comme l’état fondamental est caractérisé par b k |Ψ 0 =0 ,o n
pourrait naïvement penser que
E 0
V
=
n
2 W 0
2
−
1
2V
k =0
(ε
0
k
+ nW 0 − ε k )
mais ce résultat est incorrect, parce que l’on utilise le potentiel (14.97) en dehors de son domaine de validité, et il faut revenir au pseudo-potentiel (14.96).
Le calcul correct (Huang [1963] chapitre 19) donne
E 0
V
=
n
2 W 0
2
1+
128
15
√
π
(na
3 )
1/2
(14.127)
En résumé, le petit paramètre de l’approximation de Bogoliubov est (na
3 )
1/2 .
La condition (na
3 )
1/2 ≪ 1 est précisément celle de validité de l’approximation
de Born pour le pseudo-potentiel, et elle est bien vérifiée dans des conditions
expérimentales typiques où ce paramètre < ∼ 1 %. Il reste à généraliser l’approximation de Bogoliubov au cas d’un piège non invariant par translation.
Cette généralisation est possible, et nous renvoyons le lecteur intéressé à la
bibliographie.