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Physique quantique : Exercices et applications
en fonction de N en utilisant
N = N 0 +
k
=0
a
†
k
a k
et (14.120) se met sous la forme suivante, en symétrisant le deuxième terme
et en remplaçant N par sa valeur numérique N
H =
N
2 W 0
2V
+
1
2
k =0
ε
0
k
+ n 0 W 0
a
†
k
a k + a
†
− k
a − k
+
n 0 W 0
2
k =0
a
†
k
a
†
− k
+ a k a − k
(14.121)
Comme N est peu différent de N 0 , on peut remplacer n 0 par n dans le cadre
de nos approximations ; les termes aa et a
† a
† ne conservent pas le nombre
de particules excitées, et on considère que les particules dans l’état fondamental k =0jouent le rôle de réservoir de particules k =0 . Le hamiltonien
(14.121) est diagonalisé grâce à la transformation de Bogoliubov, qui est une
transformation canonique : elle préserve les relations de commutation
23 . Cette
transformation consiste à définir des opérateurs b k et b
†
k
par
a k = u k b k − v k b
†
− k
a − k = u k b − k − v k b
†
k
(14.122)
où les coefficients réels u k et v k vérifient u
2
k
− v
2
k
=1. En inversant (14.122),
on s’assure que les relations de commutation de b k et b
†
k
sont bien les RCC
[b k ,b
†
k ′ ]=δ k, k ′ I
[b k ,b k ′ ]=[b
†
k
,b
†
k ′ ]=0
Le vide |Ψ 0 des nouveaux opérateurs est défini par b k |Ψ 0 =0 ∀ k =0 .L e
choix suivant des coefficients u k et v k
u k =
1
2
ξ k
ε k
+1
v k =
1
2
ξ k
ε k
− 1
avec ξ k = ε
0
k
+ nW 0 et
ε k =
(ε 0
k
+ nW 0 ) 2 − (nW 0 ) 2
(14.123)
permet d’éliminer les termes en b k b − k et b
†
k
b
†
− k
et de diagonaliser le hamiltonien en le mettant sous la forme du hamiltonien d’un ensemble d’oscillateurs
harmoniques indépendants
H =
N
2 W 0
2V
+
1
2
k =0
ε k b
†
k
b k −
1
2
(ε
0
k
+ nW 0 − ε k )
(14.124)
23. Cette transformation est identique à celle utilisée pour obtenir les états comprimés
dans le § 17.2.1.