14. Particules identiques
639
Remplaçons l’opérateur de champ ψ par un champ classique, en conservant
la même notation. L’interprétation physique de |ψ|
2 est la même que précédemment, car le nombre de bosons est d’après (14.56)
N =
d
3 r |ψ( r)|
2
(14.117)
et |ψ( r)|
2 est la densité n( r). Le remplacement par un champ classique dans
(14.116) nous donne une équation du mouvement pour ce champ : l’équation de Gross-Pitaevskii est donc une approximation classique, qui néglige
les fluctuations quantiques. Un condensat de Bose-Einstein est, en première
approximation, un état classique d’un champ atomique.
Poursuivant cette approche à l’équation de Gross-Pitaevskii, nous allons
maintenant prendre en compte les fluctuations quantiques en décomposant
l’opérateur de champ en une partie classique et un champ quantique que nous
allons traiter à l’ordre le plus bas
ψ =
N 0 + δψ
(14.118)
La partie classique
√
N 0 est uniforme en raison de l’invariance par translation, et elle est normalisée par le nombre N 0 de bosons dans l’état fondamental
d’impulsion nulle k =0. Nous supposons que (N − N 0 ) ≪ N :l en o m b r ed e
bosons dans les états excités k =0doit rester petit, et l’opérateur δψ sera
traité comme une correction. La décomposition (14.118) revient à remplacer
les opérateurs a 0 et a
†
0 par
√
N 0 , et manifestement elle ne conserve pas le
nombre de particules. C’est un inconvénient de cette approche initiale de Bogoliubov ; on peut éviter cette approximation (voir par exemple Castin [2001],
section 7, ou Leggett [2001], section VIII), mais le formalisme devient plus
lourd et nous nous en tiendrons à (14.118) dans cet exposé élémentaire. Le
développement de δψ contient uniquement des impulsions k =0
δψ =
1
√
V
k =0
a k e
i k· r
(14.119)
Dans ces conditions, en reportant la décomposition (14.118) dans l’expression
(14.115) de H et en conservant seulement les termes quadratiques en δψ et
δψ
† ,o no b t i e n t
H =
N
2
0 W 0
2V
+
k
=0
(ε
0
k
+2n 0 W 0 )a
†
k
a k +
n 0 W 0
2
k =0
a
†
k
a
†
− k
+ a k a − k
(14.120)
Le facteur 2 devant n 0 W 0 est dû à l’addition du terme direct et du terme
d’échange, voir (14.84) : le signe (−) devant le terme d’échange devient un
signe (+) dans le cas de bosons. L’expression précédente pour H a l’inconvénient de faire intervenir N 0 , qui est inconnu. Il est préférable de tout exprimer
639
Remplaçons l’opérateur de champ ψ par un champ classique, en conservant
la même notation. L’interprétation physique de |ψ|
2 est la même que précédemment, car le nombre de bosons est d’après (14.56)
N =
d
3 r |ψ( r)|
2
(14.117)
et |ψ( r)|
2 est la densité n( r). Le remplacement par un champ classique dans
(14.116) nous donne une équation du mouvement pour ce champ : l’équation de Gross-Pitaevskii est donc une approximation classique, qui néglige
les fluctuations quantiques. Un condensat de Bose-Einstein est, en première
approximation, un état classique d’un champ atomique.
Poursuivant cette approche à l’équation de Gross-Pitaevskii, nous allons
maintenant prendre en compte les fluctuations quantiques en décomposant
l’opérateur de champ en une partie classique et un champ quantique que nous
allons traiter à l’ordre le plus bas
ψ =
N 0 + δψ
(14.118)
La partie classique
√
N 0 est uniforme en raison de l’invariance par translation, et elle est normalisée par le nombre N 0 de bosons dans l’état fondamental
d’impulsion nulle k =0. Nous supposons que (N − N 0 ) ≪ N :l en o m b r ed e
bosons dans les états excités k =0doit rester petit, et l’opérateur δψ sera
traité comme une correction. La décomposition (14.118) revient à remplacer
les opérateurs a 0 et a
†
0 par
√
N 0 , et manifestement elle ne conserve pas le
nombre de particules. C’est un inconvénient de cette approche initiale de Bogoliubov ; on peut éviter cette approximation (voir par exemple Castin [2001],
section 7, ou Leggett [2001], section VIII), mais le formalisme devient plus
lourd et nous nous en tiendrons à (14.118) dans cet exposé élémentaire. Le
développement de δψ contient uniquement des impulsions k =0
δψ =
1
√
V
k =0
a k e
i k· r
(14.119)
Dans ces conditions, en reportant la décomposition (14.118) dans l’expression
(14.115) de H et en conservant seulement les termes quadratiques en δψ et
δψ
† ,o no b t i e n t
H =
N
2
0 W 0
2V
+
k
=0
(ε
0
k
+2n 0 W 0 )a
†
k
a k +
n 0 W 0
2
k =0
a
†
k
a
†
− k
+ a k a − k
(14.120)
Le facteur 2 devant n 0 W 0 est dû à l’addition du terme direct et du terme
d’échange, voir (14.84) : le signe (−) devant le terme d’échange devient un
signe (+) dans le cas de bosons. L’expression précédente pour H a l’inconvénient de faire intervenir N 0 , qui est inconnu. Il est préférable de tout exprimer