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Physique quantique : Exercices et applications
De l’équation familière en thermodynamique μ = ∂E/∂N (rappelons que
T =0)e tμ ∝ N
2/5 , on déduit l’énergie par boson E/N
E
N
=
5
7
μ
(14.111)
ce qui montre que μ = E/N.
14.4.3 L’approximation de Bogoliubov
Le formalisme du champ de Schrödinger que nous avons établi pour les
fermions se transpose sans difficulté aux bosons. Aux opérateurs c i et c
†
i ,o n
substitue des opérateurs a i et a
†
i qui obéissent à des relations de commutation
canoniques (RCC), analogues à celles (17.42) qui seront écrites pour le champ
électromagnétique
[a i ,a
†
i ]=δ ij I
[a i ,a j ]=[a
†
i ,a
†
j ]=0
(14.112)
On définit par analogie avec (14.54) des champs bosoniques ψ( r, t) et ψ
† ( r, t)
ψ( r, t)=
∞
i=1
a i u i ( r, t)
ψ
† ( r, t)=
∞
i=1
a
†
i u
∗
i ( r, t)
(14.113)
qui obéissent, au lieu de (14.55), à des relations de commutation à temps
égaux
[ψ( r, t),ψ( r
′ ,t)] = [ψ
† ( r, t),ψ
† ( r
′ ,t)] = 0
[ψ( r, t),ψ
† ( r
′ ,t)] = δ( r − r
′ )I
(14.114)
L’opérateur nombre de bosons N et les relations de commutation de N avec ψ
et ψ
† sont identiques à (14.56) et (14.58). La fonction d’onde à N bosons est
donnée par (14.60) et le hamiltonien par (14.63). Nous nous plaçons dans le
cas invariant par translation (U =0 ), c’est-à-dire dans une boîte de volume
V, et compte tenu de (14.81) et de (14.97), le hamiltonien effectif est
H =
k
ε
0
k
a
†
k
a k +
W 0
2V
k, k ′ ,, q
a
†
k+ q
a
†
k ′ − q
a k ′ a k
(14.115)
avec ε
0
k
=
2 k
2 /2m. Comme première application du formalisme opératoriel,
nous allons retrouver l’équation de Gross-Pitaevskii. L’équation du mouvement du champ ψ est donnée par la même formule que dans le cas des fermions
(14.72)
i
∂ψ( r, t)
∂t
=( K + U )ψ( r, t)+
d
3 r
′ ψ
† ( r
′ ,t)W ( r, , r
′ )ψ( r
′ ,t)ψ( r, t)
=
K + U + W 0 ψ
† ( r, t)ψ( r, t)
ψ( r, t)
(14.116)