14. Particules identiques
637
d’atomes. Si l’on met suffisamment d’atomes dans un piège avec des interactions répulsives, on observera un équilibre mécanique dû à une compensation
entre les forces harmoniques, qui tendent à ramener les atomes vers le centre
du piège, et les forces répulsives, qui tendent à augmenter la taille du condensat. Le rayon R du condensat va devenir très grand par rapport à l’extension
de la fonction d’onde du fondamental
R ≫
mω
1/2
L’énergie cinétique devient alors beaucoup plus petite que l’énergie potentielle
E cin
E pot
∼
2 /(mR
2 )
mω 2 R 2 =
mωR 2
2
≪ 1
et l’équation de Gross-Pitaevskii se simplifie
U ( r )+W 0 |ψ( r )|
2
ψ( r )=μψ( r )
(14.106)
La solution de (14.106) s’écrit en fonction de la densité n(r), si on suppose le
piège à symétrie sphérique
n(r)=|ψ(r)|
2 =
μ − U (r)
W 0
(14.107)
La limite r max du condensat est donnée par U (r max )=μ. L’équation (14.107)
s’écrit aussi
μ = W 0 n(r)+U (r)
(14.108)
Comme μ est le potentiel chimique, cette équation implique que l’énergie
nécessaire pour ajouter un atome au condensat est, dans le cadre de notre approximation, la somme de l’énergie potentielle U (r) dans le piège et du terme
W 0 n(r) proportionnel à la densité, représentant l’interaction type champ
moyen de l’atome supplémentaire avec les atomes du condensat.
Reste à exprimer μ en fonction du nombre d’atomes. La condition de
normalisation de n est
N =
d
3 rn(r)=
1
W 0
rmax
r=0
[μ − U (r)]d
3 r
(14.109)
où r max est déterminé en fonction de μ par
U (r max )=
1
2
mω
2 r
2
max = μ
ce qui donne
N =
8π
15
2μ
mω 2
3/2 μ
W 0
(14.110)
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d’atomes. Si l’on met suffisamment d’atomes dans un piège avec des interactions répulsives, on observera un équilibre mécanique dû à une compensation
entre les forces harmoniques, qui tendent à ramener les atomes vers le centre
du piège, et les forces répulsives, qui tendent à augmenter la taille du condensat. Le rayon R du condensat va devenir très grand par rapport à l’extension
de la fonction d’onde du fondamental
R ≫
mω
1/2
L’énergie cinétique devient alors beaucoup plus petite que l’énergie potentielle
E cin
E pot
∼
2 /(mR
2 )
mω 2 R 2 =
mωR 2
2
≪ 1
et l’équation de Gross-Pitaevskii se simplifie
U ( r )+W 0 |ψ( r )|
2
ψ( r )=μψ( r )
(14.106)
La solution de (14.106) s’écrit en fonction de la densité n(r), si on suppose le
piège à symétrie sphérique
n(r)=|ψ(r)|
2 =
μ − U (r)
W 0
(14.107)
La limite r max du condensat est donnée par U (r max )=μ. L’équation (14.107)
s’écrit aussi
μ = W 0 n(r)+U (r)
(14.108)
Comme μ est le potentiel chimique, cette équation implique que l’énergie
nécessaire pour ajouter un atome au condensat est, dans le cadre de notre approximation, la somme de l’énergie potentielle U (r) dans le piège et du terme
W 0 n(r) proportionnel à la densité, représentant l’interaction type champ
moyen de l’atome supplémentaire avec les atomes du condensat.
Reste à exprimer μ en fonction du nombre d’atomes. La condition de
normalisation de n est
N =
d
3 rn(r)=
1
W 0
rmax
r=0
[μ − U (r)]d
3 r
(14.109)
où r max est déterminé en fonction de μ par
U (r max )=
1
2
mω
2 r
2
max = μ
ce qui donne
N =
8π
15
2μ
mω 2
3/2 μ
W 0
(14.110)