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Physique quantique : Exercices et applications
la fonction ϕ( r ) étant normalisée par
d
3 r |ϕ( r )|
2 =1
(14.99)
Le hamiltonien de l’ensemble des N bosons est
H =
N
i=1
P
2
i
2m
+ U ( r )
+ W 0
i
(14.100)
et l’énergie de l’état (14.98) se calcule immédiatement
E = Φ|H|Φ = N
d
3 r
2
2m
(
∇ϕ)
2 + U ( r )|ϕ( r )|
2 +
N − 1
2
W 0 |ϕ( r )|
4
(14.101)
La densité de bosons est n( r )=N |ϕ( r )|
2 , et ceci suggère d’introduire une
“fonction d’onde de l’état condensé”, ou fonction d’onde macroscopique
21
ψ( r )=N
1/2 ϕ( r )
|ψ( r )|
2 = n( r )
(14.102)
L’expression (14.101) de l’énergie se récrit en fonction de ψ( r )
E =
d
3 r
2
2m
(
∇ψ)
2 + U ( r )|ψ( r )|
2 +
1
2
W 0 |ψ( r )|
4
(14.103)
Comme N ≫ 1,n o u sa v o n sr e m p l a c éN − 1 par N . Pour trouver la forme
optimale de ψ, nous allons utiliser une méthode variationnelle en prenant
des variations indépendantes par rapport à ψ et ψ
∗ , avec la contrainte d’un
nombre de particules fixé
N =
d
3 r |ψ( r )|
2
(14.104)
Il faut donc introduire un multiplicateur de Lagrange, le potentiel chimique
μ, et minimiser E − μN . La minimisation par rapport à ψ
∗ ap o u rr é s u l t a t
−
2
2m
∇
2 + U ( r )+W 0 |ψ( r )|
2
ψ( r )=μψ( r )
(14.105)
Cette équation est l’équation de Gross-Pitaevskii indépendante du temps,
aussi appelée équation de Schrödinger non linéaire
22 .
Nous allons maintenant supposer a>0, ce qui correspond à des interactions effectives répulsives ; le cas attractif a<0 ne conduit pas à une transition
de phase, bien que l’on puisse observer des condensats de quelques milliers
21. Une introduction lumineuse au concept de fonction d’onde macroscopique est donnée
dans Feynman et al. [1965], vol. III, chapitre 21.
22. Cette équation intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique
des fluides, propagation dans les fibres optiques, etc.
Physique quantique : Exercices et applications
la fonction ϕ( r ) étant normalisée par
d
3 r |ϕ( r )|
2 =1
(14.99)
Le hamiltonien de l’ensemble des N bosons est
H =
N
i=1
P
2
i
2m
+ U ( r )
+ W 0
i
(14.100)
et l’énergie de l’état (14.98) se calcule immédiatement
E = Φ|H|Φ = N
d
3 r
2
2m
(
∇ϕ)
2 + U ( r )|ϕ( r )|
2 +
N − 1
2
W 0 |ϕ( r )|
4
(14.101)
La densité de bosons est n( r )=N |ϕ( r )|
2 , et ceci suggère d’introduire une
“fonction d’onde de l’état condensé”, ou fonction d’onde macroscopique
21
ψ( r )=N
1/2 ϕ( r )
|ψ( r )|
2 = n( r )
(14.102)
L’expression (14.101) de l’énergie se récrit en fonction de ψ( r )
E =
d
3 r
2
2m
(
∇ψ)
2 + U ( r )|ψ( r )|
2 +
1
2
W 0 |ψ( r )|
4
(14.103)
Comme N ≫ 1,n o u sa v o n sr e m p l a c éN − 1 par N . Pour trouver la forme
optimale de ψ, nous allons utiliser une méthode variationnelle en prenant
des variations indépendantes par rapport à ψ et ψ
∗ , avec la contrainte d’un
nombre de particules fixé
N =
d
3 r |ψ( r )|
2
(14.104)
Il faut donc introduire un multiplicateur de Lagrange, le potentiel chimique
μ, et minimiser E − μN . La minimisation par rapport à ψ
∗ ap o u rr é s u l t a t
−
2
2m
∇
2 + U ( r )+W 0 |ψ( r )|
2
ψ( r )=μψ( r )
(14.105)
Cette équation est l’équation de Gross-Pitaevskii indépendante du temps,
aussi appelée équation de Schrödinger non linéaire
22 .
Nous allons maintenant supposer a>0, ce qui correspond à des interactions effectives répulsives ; le cas attractif a<0 ne conduit pas à une transition
de phase, bien que l’on puisse observer des condensats de quelques milliers
21. Une introduction lumineuse au concept de fonction d’onde macroscopique est donnée
dans Feynman et al. [1965], vol. III, chapitre 21.
22. Cette équation intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique
des fluides, propagation dans les fibres optiques, etc.