14. Particules identiques
635
fonction de la densité n par (14.87) et N 0 /N par
N 0
N
=1−
T
T 0
C
3/2
(14.95)
14.4.2 L’équation de Gross-Pitaevskii
Nous avons jusqu’à présent traité les bosons comme des particules indépendantes. Il nous faut maintenant examiner l’influence des interactions sur
la condensation, en nous limitant au cas de la température nulle : T =0 .
Le potentiel d’interaction W entre deux alcalins est bien connu, mais il n’est
pas possible de l’utiliser directement
19 . En effet, nous allons nous servir de
techniques inspirées de l’approximation de Hartree-Fock ou de champ moyen,
qui négligent les corrélations à deux particules et plus. Ceci suppose que l’interaction soit traitée à l’approximation de Born, ce qui n’est pas possible avec
le potentiel W . On a recours au pseudo-potentiel du § 13.2.3, valable pour les
faibles énergies, et donné en fonction de la longueur de diffusion a et de la
masse m des bosons par (13.44)
W ( r )• =
4π
2 a
m
δ( r )
d
dr
(r•)
(14.96)
La condition de validité de l’approximation de Born est que l’état de diffusion
soit en moyenne peu différent d’une onde plane, ce qui implique |a|/r ≪ 1
en moyenne, soit |a|≪n
−1/3 ,o ùn est la densité d’atomes. Nous verrons au
§ 14.4.3 que le petit paramètre de la théorie est effectivement (na
3 )
1/2 ,e tc e
paramètre est de l’ordre de 1 % dans des conditions expérimentales typiques.
Dans ces conditions, (14.96) peut être remplacé par
W ( r ) → W 0 δ( r )
W 0 =
4π
2 a
m
(14.97)
Il ne faut surtout pas utiliser ce potentiel au-delà de l’approximation de Born :
en fait, l’amplitude de diffusion exacte du potentiel
20 (14.97) est strictement
nulle ! En première approximation, tous les bosons ont pour fonction d’onde
celle de l’état fondamental ϕ( r ), et la fonction d’onde d’ensemble symétrisée
est
Φ( r 1 , ··· ,, r N )=
N
i=1
ϕ( r i )
(14.98)
19. Un calcul exact de mécanique statistique d’équilibre avec le potentiel exact donnerait
un état stable formé de molécules. Les condensats de Bose-Einstein sont des états métastables. Pour former des molécules, il faut passer par l’intermédiaire de collisions à trois
corps afin de conserver l’énergie-impulsion, et ces collisions sont très peu probables à faible
densité.
20. Le pseudo potentiel et les conditions de sa validité sont étudiées très en détail dans
Huang [1963], chapitre 13.
635
fonction de la densité n par (14.87) et N 0 /N par
N 0
N
=1−
T
T 0
C
3/2
(14.95)
14.4.2 L’équation de Gross-Pitaevskii
Nous avons jusqu’à présent traité les bosons comme des particules indépendantes. Il nous faut maintenant examiner l’influence des interactions sur
la condensation, en nous limitant au cas de la température nulle : T =0 .
Le potentiel d’interaction W entre deux alcalins est bien connu, mais il n’est
pas possible de l’utiliser directement
19 . En effet, nous allons nous servir de
techniques inspirées de l’approximation de Hartree-Fock ou de champ moyen,
qui négligent les corrélations à deux particules et plus. Ceci suppose que l’interaction soit traitée à l’approximation de Born, ce qui n’est pas possible avec
le potentiel W . On a recours au pseudo-potentiel du § 13.2.3, valable pour les
faibles énergies, et donné en fonction de la longueur de diffusion a et de la
masse m des bosons par (13.44)
W ( r )• =
4π
2 a
m
δ( r )
d
dr
(r•)
(14.96)
La condition de validité de l’approximation de Born est que l’état de diffusion
soit en moyenne peu différent d’une onde plane, ce qui implique |a|/r ≪ 1
en moyenne, soit |a|≪n
−1/3 ,o ùn est la densité d’atomes. Nous verrons au
§ 14.4.3 que le petit paramètre de la théorie est effectivement (na
3 )
1/2 ,e tc e
paramètre est de l’ordre de 1 % dans des conditions expérimentales typiques.
Dans ces conditions, (14.96) peut être remplacé par
W ( r ) → W 0 δ( r )
W 0 =
4π
2 a
m
(14.97)
Il ne faut surtout pas utiliser ce potentiel au-delà de l’approximation de Born :
en fait, l’amplitude de diffusion exacte du potentiel
20 (14.97) est strictement
nulle ! En première approximation, tous les bosons ont pour fonction d’onde
celle de l’état fondamental ϕ( r ), et la fonction d’onde d’ensemble symétrisée
est
Φ( r 1 , ··· ,, r N )=
N
i=1
ϕ( r i )
(14.98)
19. Un calcul exact de mécanique statistique d’équilibre avec le potentiel exact donnerait
un état stable formé de molécules. Les condensats de Bose-Einstein sont des états métastables. Pour former des molécules, il faut passer par l’intermédiaire de collisions à trois
corps afin de conserver l’énergie-impulsion, et ces collisions sont très peu probables à faible
densité.
20. Le pseudo potentiel et les conditions de sa validité sont étudiées très en détail dans
Huang [1963], chapitre 13.