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Physique quantique : Exercices et applications
Compte tenu de ce que la population (14.88) d’un niveau excité est maximale
pour z =1(μ =0)
17 , nous obtenons la borne supérieure
N
′
max
≤
∞
p=1
α =0
e
−pβωℓα =
∞
p=1
⎛
⎝
∞
nx,ny,nz =0
e
−pβωℓα − 1
⎞
⎠
=
∞
p=1
1
1 − e −pβω
3
− 1
(14.90)
On peut maintenant développer le terme entre crochets de (14.90) pour y =
pβω ≪ 1
1
1 − e −y
3
− 1
=
1
y 3 +
3
2y 2 + ···
(14.91)
et sommer terme à terme pour obtenir
18
N
′
max = ζ(3)
k B T
ω
3
+
3ζ(2)
2
k B T
ω
2
+ ···
(14.92)
L’échange de la sommation sur p et de la sommation dans le membre de droite
de (14.91) n’est pas valable pour les termes ultérieurs du développement. À
l’ordre dominant en (k B T/ω), la fraction de particules dans l’état fondamental est bornée inférieurement par
N 0
N
≥
N − N
′
max
N
≃ 1 −
ζ(3)
N
k B T
ω
3
=1−
T
T 0
C
3
(14.93)
o ùl at e m p é r a t u r ec r i t i q u ed el at r a n s i t i o nd eB o s e - E i n s t e i nT
0
C est donnée
par
N = ζ(3)
k B T
0
C
ω
3
(14.94)
Ces résultats se généralisent à un potentiel U ( r ) de forme quelconque (mais
suffisamment régulière) si l’on utilise une approximation semi-classique (exercice 14.5.8). La température de transition et N 0 /N , (14.93) et (14.94), sont
spécifiques de l’oscillateur harmonique : par exemple, dans le cas de la condensation de Bose-Einstein dans une boîte, la température critique est donnée en
17. La valeur µ =0est valable à la limite thermodynamique. Pour N fini, µ ∼ 1/N (cf.
Huang [1963], chapitre 12 ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 5).
18. On rappelle que la fonction de Riemann ζ(n) est définie par
ζ(n)=
∞
p=0
1
p n
avec ζ(3/2) ≃ 2.612, ζ(2) = π 2 /6 ≃ 1.645, ζ(3) ≃ 1.202.
Physique quantique : Exercices et applications
Compte tenu de ce que la population (14.88) d’un niveau excité est maximale
pour z =1(μ =0)
17 , nous obtenons la borne supérieure
N
′
max
≤
∞
p=1
α =0
e
−pβωℓα =
∞
p=1
⎛
⎝
∞
nx,ny,nz =0
e
−pβωℓα − 1
⎞
⎠
=
∞
p=1
1
1 − e −pβω
3
− 1
(14.90)
On peut maintenant développer le terme entre crochets de (14.90) pour y =
pβω ≪ 1
1
1 − e −y
3
− 1
=
1
y 3 +
3
2y 2 + ···
(14.91)
et sommer terme à terme pour obtenir
18
N
′
max = ζ(3)
k B T
ω
3
+
3ζ(2)
2
k B T
ω
2
+ ···
(14.92)
L’échange de la sommation sur p et de la sommation dans le membre de droite
de (14.91) n’est pas valable pour les termes ultérieurs du développement. À
l’ordre dominant en (k B T/ω), la fraction de particules dans l’état fondamental est bornée inférieurement par
N 0
N
≥
N − N
′
max
N
≃ 1 −
ζ(3)
N
k B T
ω
3
=1−
T
T 0
C
3
(14.93)
o ùl at e m p é r a t u r ec r i t i q u ed el at r a n s i t i o nd eB o s e - E i n s t e i nT
0
C est donnée
par
N = ζ(3)
k B T
0
C
ω
3
(14.94)
Ces résultats se généralisent à un potentiel U ( r ) de forme quelconque (mais
suffisamment régulière) si l’on utilise une approximation semi-classique (exercice 14.5.8). La température de transition et N 0 /N , (14.93) et (14.94), sont
spécifiques de l’oscillateur harmonique : par exemple, dans le cas de la condensation de Bose-Einstein dans une boîte, la température critique est donnée en
17. La valeur µ =0est valable à la limite thermodynamique. Pour N fini, µ ∼ 1/N (cf.
Huang [1963], chapitre 12 ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 5).
18. On rappelle que la fonction de Riemann ζ(n) est définie par
ζ(n)=
∞
p=0
1
p n
avec ζ(3/2) ≃ 2.612, ζ(2) = π 2 /6 ≃ 1.645, ζ(3) ≃ 1.202.