14. Particules identiques
633
dans des gaz d’alcalins
15 à des températures < ∼ 1 μK, le cas intéressant est
celui de la condensation dans un piège où les atomes se trouvent dans un
potentiel U ( r ). En pratique, le potentiel U ( r ) est approximativement un
potentiel d’oscillateur harmonique à trois dimensions, avec le plus souvent
une symétrie de révolution : les fréquences vérifient ω x = ω y = ω z . Afin de
simplifier les formules, nous allons supposer les trois fréquences identiques :
ω x = ω y = ω z = ω. Les niveaux d’énergie sont alors de la forme
ε α = ω(n x + n y + n z )=ωℓ α
n x ,n y ,n z =0, 1, 2, ···
Nous avons fixé le zéro d’énergie de sorte que l’énergie de l’état fondamental
soit nulle : ε 0 = ε(n x = n y = n z =0 )=0 . Le nombre d’occupation n α du
niveau ε α est donné en fonction de β =1/k B T et du potentiel chimique μ par
n α =
1
e β(εα−µ) − 1
=
1
z −1 e βωℓα − 1
(14.88)
où nous avons défini la fugacité z par z =e x p ( βμ). Pour une température
T fixée, n α est une fonction croissante de z,e to nd o i ta v o i r0
mais nous nous intéressons à la limite opposée z → 1.L en o m b r ed ’ a t o m e s
dans l’état ε 0 =0est
N 0 =
z
1 − z
(14.89)
et N 0 diverge lorsque z → 1. Le point essentiel dans la condensation de BoseEinstein est le suivant : lorsque T → 0 à nombre total d’atomes N fixé,
on observe une saturation de la population des niveaux excités, et lorsque
les niveaux excités sont saturés, les atomes n’ont plus d’autre choix que de
s’accumuler dans l’état fondamental. Inversement, on peut maintenir fixe la
température et ajouter des atomes jusqu’à saturation des niveaux excités. Le
régime qui nous intéresse est celui où k B T ≫ ω, une condition qui peut sembler surprenante dans la mesure où la condensation de Bose-Einstein est un
phénomène de très basse température. En fait, le régime opposé k B T ≪ ω
n’est pas intéressant, car l’état fondamental serait occupé de façon macroscopique dans ce cas qui est régi par la statistique de Maxwell-Boltzmann.
On observe d’ailleurs que la condition k B T ≫ ω est toujours réalisée dans
une boîte suffisamment grande
16 , car le premier niveau excité est de la forme
ε 1 ∼V
−2/3 .S o i tN
′ le nombre d’atomes dans l’ensemble des états excités :
notre objectif est de trouver une borne supérieure N
′
max pour N
′ .P o u rc e
faire, nous utilisons le développement suivant
1
e x − 1
=
e
−x
1 − e −x =
∞
p=1
e
−px
15. On a aussi obtenu des condensats avec de l’hydrogène polarisé et des atomes d’ 4 He
dans un état métastable.
16. En revanche, la somme sur α est donnée par une intégrale sur k qui converge à trois
dimensions d’espace, cas où N ′
max reste fini, mais qui diverge à deux dimensions, auquel
cas il n’y a pas de condensation.
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dans des gaz d’alcalins
15 à des températures < ∼ 1 μK, le cas intéressant est
celui de la condensation dans un piège où les atomes se trouvent dans un
potentiel U ( r ). En pratique, le potentiel U ( r ) est approximativement un
potentiel d’oscillateur harmonique à trois dimensions, avec le plus souvent
une symétrie de révolution : les fréquences vérifient ω x = ω y = ω z . Afin de
simplifier les formules, nous allons supposer les trois fréquences identiques :
ω x = ω y = ω z = ω. Les niveaux d’énergie sont alors de la forme
ε α = ω(n x + n y + n z )=ωℓ α
n x ,n y ,n z =0, 1, 2, ···
Nous avons fixé le zéro d’énergie de sorte que l’énergie de l’état fondamental
soit nulle : ε 0 = ε(n x = n y = n z =0 )=0 . Le nombre d’occupation n α du
niveau ε α est donné en fonction de β =1/k B T et du potentiel chimique μ par
n α =
1
e β(εα−µ) − 1
=
1
z −1 e βωℓα − 1
(14.88)
où nous avons défini la fugacité z par z =e x p ( βμ). Pour une température
T fixée, n α est une fonction croissante de z,e to nd o i ta v o i r0
mais nous nous intéressons à la limite opposée z → 1.L en o m b r ed ’ a t o m e s
dans l’état ε 0 =0est
N 0 =
z
1 − z
(14.89)
et N 0 diverge lorsque z → 1. Le point essentiel dans la condensation de BoseEinstein est le suivant : lorsque T → 0 à nombre total d’atomes N fixé,
on observe une saturation de la population des niveaux excités, et lorsque
les niveaux excités sont saturés, les atomes n’ont plus d’autre choix que de
s’accumuler dans l’état fondamental. Inversement, on peut maintenir fixe la
température et ajouter des atomes jusqu’à saturation des niveaux excités. Le
régime qui nous intéresse est celui où k B T ≫ ω, une condition qui peut sembler surprenante dans la mesure où la condensation de Bose-Einstein est un
phénomène de très basse température. En fait, le régime opposé k B T ≪ ω
n’est pas intéressant, car l’état fondamental serait occupé de façon macroscopique dans ce cas qui est régi par la statistique de Maxwell-Boltzmann.
On observe d’ailleurs que la condition k B T ≫ ω est toujours réalisée dans
une boîte suffisamment grande
16 , car le premier niveau excité est de la forme
ε 1 ∼V
−2/3 .S o i tN
′ le nombre d’atomes dans l’ensemble des états excités :
notre objectif est de trouver une borne supérieure N
′
max pour N
′ .P o u rc e
faire, nous utilisons le développement suivant
1
e x − 1
=
e
−x
1 − e −x =
∞
p=1
e
−px
15. On a aussi obtenu des condensats avec de l’hydrogène polarisé et des atomes d’ 4 He
dans un état métastable.
16. En revanche, la somme sur α est donnée par une intégrale sur k qui converge à trois
dimensions d’espace, cas où N ′
max reste fini, mais qui diverge à deux dimensions, auquel
cas il n’y a pas de condensation.