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Physique quantique : Exercices et applications
14.4 États collectifs de bosons
14.4.1 La condensation de Bose-Einstein
Le cas des bosons est plus complexe que celui des fermions. Il faut distinguer le cas où le nombre de bosons est variable (photons, phonons, ...), cas
qui sera étudié au chapitre 17, et celui où il est fixé (atomes d’hélium
4 ,a l -
calins). Dans ce dernier cas, à température strictement nulle et en supposant
les bosons sans interactions, on obtient l’état fondamental de l’ensemble en
mettant tous les bosons dans l’état ε 0 de plus basse énergie. Comme dans le
cas des fermions, nous nous limitons à des particules de spin zéro. Le problème
consiste à montrer que si la température n’est pas nulle, une fraction finie des
bosons reste dans cet état fondamental : c’est ce que l’on appelle la condensation de Bose-Einstein. Le cas de figure habituellement étudié dans les manuels
de mécanique statistique est celui de la condensation dans une boîte de volume V, où les fonctions d’onde sont des ondes planes (14.76) exp(i k · r)/
√
V.
Cette condensation ne se produit pas dans tous les cas de figure, par exemple
elle ne se produit pas dans une boîte à deux dimensions, mais on montre
qu’elle se produit dans une boîte à trois dimensions. La température où se
produit (éventuellement) la condensation de Bose-Einstein peut être estimée
en écrivant que les deux longueurs caractéristiques du problème, la longueur
d’onde thermique λ T et la distance moyenne entre bosons d ∝ n
−1/3 ,oùn est
la densité de particules, sont du même ordre de grandeur : λ T ∼ n
−1/3 .U n
calcul exact confirme cette estimation. Si λ T est la longueur d’onde thermique
définie par
14
λ T =
h
2
2πmkT
1/2
(14.87)
la température de la condensation est donnée, pour une boîte à trois dimensions, par λ T =2.61 n
−1/3 .
La condensation de Bose-Einstein est une transition de phase, et, en toute
rigueur, il est nécessaire de prendre la limite thermodynamique N →∞ ,
V →∞ , n = N/V fixé pour s’assurer de l’existence d’une telle transition
(cf. Huang [1963], appendice C ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 4). Si le
nombre de particules reste fini, un condensat est possible même si la transition
de phase n’existe pas à la limite thermodynamique. En toute rigueur, il faut
faire la distinction entre la condensation (transition de phase) et la formation
d’un condensat (fraction finie des particules dans l’état fondamental).
L’hélium
4 superfluide a longtemps été le seul cas d’intérêt physique où la
condensation de Bose-Einstein avait (peut-être) une application, le problème
étant que la fraction d’atomes dans l’état fondamental est de l’ordre de 10 %
à T =0 , ce qui est vraiment très loin du gaz parfait. Aujourd’hui, depuis la
mise en évidence expérimentale en 1995 de la condensation de Bose-Einstein
14. λ T est la longueur d’onde de de Broglie d’une particule dont l’énergie ∼ kT .L e
facteur 2π est conventionnel.
Physique quantique : Exercices et applications
14.4 États collectifs de bosons
14.4.1 La condensation de Bose-Einstein
Le cas des bosons est plus complexe que celui des fermions. Il faut distinguer le cas où le nombre de bosons est variable (photons, phonons, ...), cas
qui sera étudié au chapitre 17, et celui où il est fixé (atomes d’hélium
4 ,a l -
calins). Dans ce dernier cas, à température strictement nulle et en supposant
les bosons sans interactions, on obtient l’état fondamental de l’ensemble en
mettant tous les bosons dans l’état ε 0 de plus basse énergie. Comme dans le
cas des fermions, nous nous limitons à des particules de spin zéro. Le problème
consiste à montrer que si la température n’est pas nulle, une fraction finie des
bosons reste dans cet état fondamental : c’est ce que l’on appelle la condensation de Bose-Einstein. Le cas de figure habituellement étudié dans les manuels
de mécanique statistique est celui de la condensation dans une boîte de volume V, où les fonctions d’onde sont des ondes planes (14.76) exp(i k · r)/
√
V.
Cette condensation ne se produit pas dans tous les cas de figure, par exemple
elle ne se produit pas dans une boîte à deux dimensions, mais on montre
qu’elle se produit dans une boîte à trois dimensions. La température où se
produit (éventuellement) la condensation de Bose-Einstein peut être estimée
en écrivant que les deux longueurs caractéristiques du problème, la longueur
d’onde thermique λ T et la distance moyenne entre bosons d ∝ n
−1/3 ,oùn est
la densité de particules, sont du même ordre de grandeur : λ T ∼ n
−1/3 .U n
calcul exact confirme cette estimation. Si λ T est la longueur d’onde thermique
définie par
14
λ T =
h
2
2πmkT
1/2
(14.87)
la température de la condensation est donnée, pour une boîte à trois dimensions, par λ T =2.61 n
−1/3 .
La condensation de Bose-Einstein est une transition de phase, et, en toute
rigueur, il est nécessaire de prendre la limite thermodynamique N →∞ ,
V →∞ , n = N/V fixé pour s’assurer de l’existence d’une telle transition
(cf. Huang [1963], appendice C ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 4). Si le
nombre de particules reste fini, un condensat est possible même si la transition
de phase n’existe pas à la limite thermodynamique. En toute rigueur, il faut
faire la distinction entre la condensation (transition de phase) et la formation
d’un condensat (fraction finie des particules dans l’état fondamental).
L’hélium
4 superfluide a longtemps été le seul cas d’intérêt physique où la
condensation de Bose-Einstein avait (peut-être) une application, le problème
étant que la fraction d’atomes dans l’état fondamental est de l’ordre de 10 %
à T =0 , ce qui est vraiment très loin du gaz parfait. Aujourd’hui, depuis la
mise en évidence expérimentale en 1995 de la condensation de Bose-Einstein
14. λ T est la longueur d’onde de de Broglie d’une particule dont l’énergie ∼ kT .L e
facteur 2π est conventionnel.