14. Particules identiques
631
et utilisant les relations d’anticommutation, nous déduisons
Φ 0 |c
†
i c
†
j c m c l |Φ 0 = Φ 0 |δ jm c
†
i c l − c
†
i c m c
†
j c l |Φ 0 = δ jm δ il − δ im δ jl (14.83)
Reportant cette équation dans le calcul de la valeur moyenne de H donne
Φ 0 |H|Φ 0 =
∞
i=1
(K + U ) ii n i +
1
2
i =j
(W ij;ij − W ij;ji ) n i n j
(14.84)
L’introduction des nombres d’occupation n i permet de sommer jusqu’à l’infini.
Le terme W ij;ij est appelé terme direct et W ij;ji terme d’échange ; ce deuxième
terme a manifestement pour origine l’antisymétrie du vecteur d’état.
Le résultat (14.84) pour la valeur moyenne de H est, en fait, un résultat
de premier ordre de la théorie des perturbations (§ 15.1.2). On peut obtenir
un résultat plus précis en utilisant une méthode appelée approximation de
Hartree-Fock, exercice 14.5.7. Cette approximation montre que, dans le sousespace des états occupés 1 ≤ i ≤ N , on peut remplacer le potentiel à un corps
U et le potentiel à deux corps W de H par un potentiel effectif à un corps
U eff dont les éléments de matrice sont donnés par
[U eff ] ml = U ml +
1
2
N
j=1
(W jm;jl − W mj;jl )
(14.85)
et à prendre comme nouvelle base dans le sous-espace 1 ≤ i ≤ N , au lieu
des fonctions d’onde u i ( r ), les fonctions d’onde ˜
u l ( r ) qui diagonalisent le
hamiltonien effectif
l
[K + U eff ] ml ˜
u l ( r )=˜ ε m ˜
u m ( r )
(14.86)
Comme les fonctions d’onde ˜
u l ( r ) servent aussi à calculer les éléments de
matrice de W dans (14.85), la méthode de Hartree-Fock est appelée “autocohérente”. En résumé, le point essentiel de cette approximation est de permettre le remplacement d’un potentiel à deux corps par un potentiel effectif à
un corps calculé de façon autocohérente. Chaque particule se déplace dans le
champ moyen créé par les autres particules : la méthode de Hartree-Fock est,
en fait, une approximation de champ moyen. Ceci se voit le plus clairement
dans la déduction qui consiste à briser la hiérarchie BBGKY, en écrivant que
la fonction de distribution à deux particules est le produit de deux fonctions
de distribution à une particule : la méthode de Hartree-Fock néglige les corrélations. Les détails sont renvoyés à l’exercice 14.5.7. On peut aussi déduire
(14.86) à l’aide d’un argument variationnel (§ 15.1.4), qui montre que le déterminant de Slater construit avec les fonction d’onde ˜
u i déterminées de façon
autocohérente est la meilleure fonction d’onde de ce type.
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et utilisant les relations d’anticommutation, nous déduisons
Φ 0 |c
†
i c
†
j c m c l |Φ 0 = Φ 0 |δ jm c
†
i c l − c
†
i c m c
†
j c l |Φ 0 = δ jm δ il − δ im δ jl (14.83)
Reportant cette équation dans le calcul de la valeur moyenne de H donne
Φ 0 |H|Φ 0 =
∞
i=1
(K + U ) ii n i +
1
2
i =j
(W ij;ij − W ij;ji ) n i n j
(14.84)
L’introduction des nombres d’occupation n i permet de sommer jusqu’à l’infini.
Le terme W ij;ij est appelé terme direct et W ij;ji terme d’échange ; ce deuxième
terme a manifestement pour origine l’antisymétrie du vecteur d’état.
Le résultat (14.84) pour la valeur moyenne de H est, en fait, un résultat
de premier ordre de la théorie des perturbations (§ 15.1.2). On peut obtenir
un résultat plus précis en utilisant une méthode appelée approximation de
Hartree-Fock, exercice 14.5.7. Cette approximation montre que, dans le sousespace des états occupés 1 ≤ i ≤ N , on peut remplacer le potentiel à un corps
U et le potentiel à deux corps W de H par un potentiel effectif à un corps
U eff dont les éléments de matrice sont donnés par
[U eff ] ml = U ml +
1
2
N
j=1
(W jm;jl − W mj;jl )
(14.85)
et à prendre comme nouvelle base dans le sous-espace 1 ≤ i ≤ N , au lieu
des fonctions d’onde u i ( r ), les fonctions d’onde ˜
u l ( r ) qui diagonalisent le
hamiltonien effectif
l
[K + U eff ] ml ˜
u l ( r )=˜ ε m ˜
u m ( r )
(14.86)
Comme les fonctions d’onde ˜
u l ( r ) servent aussi à calculer les éléments de
matrice de W dans (14.85), la méthode de Hartree-Fock est appelée “autocohérente”. En résumé, le point essentiel de cette approximation est de permettre le remplacement d’un potentiel à deux corps par un potentiel effectif à
un corps calculé de façon autocohérente. Chaque particule se déplace dans le
champ moyen créé par les autres particules : la méthode de Hartree-Fock est,
en fait, une approximation de champ moyen. Ceci se voit le plus clairement
dans la déduction qui consiste à briser la hiérarchie BBGKY, en écrivant que
la fonction de distribution à deux particules est le produit de deux fonctions
de distribution à une particule : la méthode de Hartree-Fock néglige les corrélations. Les détails sont renvoyés à l’exercice 14.5.7. On peut aussi déduire
(14.86) à l’aide d’un argument variationnel (§ 15.1.4), qui montre que le déterminant de Slater construit avec les fonction d’onde ˜
u i déterminées de façon
autocohérente est la meilleure fonction d’onde de ce type.