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Physique quantique : Exercices et applications
Comme W ne dépend pas de
R, l’intégrale sur
R donne la conservation de
l’impulsion
d
3 R e
−i( ki+ kj − k l − km)·
R = V δ ki+ kj ; k l + km
(14.78)
L’intégrale sur r fait apparaître la transformée de Fourier ˜
W de W
˜
W ( q )=
d
3 r e
−i q· r W ( r)
(14.79)
avec
q = k i − k l = k m − k j
(14.80)
Il est commode d’étiqueter les quatre vecteurs d’onde de la façon suivante
(figure 14.3)
k l = k k m = k
′
k i = k +
q k j = k
′ − q
et avec ces notations, le hamiltonien devient
H =
k
2 k
2
2m
c
†
k
c k +
1
2V
k, k ′ ,, q
˜
W ( q ) c
†
k+ q
c
†
k ′ − q
c k ′ c k
(14.81)
Le terme d’interaction se représente graphiquement sous forme d’un diagramme de Feynman (figure 14.3) : les impulsions entrantes sont k et k
′ ,
les impulsions sortantes ( k
′ − q) et ( k + q) et le transfert d’impulsion est
q.
k + q
q
k − q
k
k
Fig. 14.3 – Diagramme de Feynman pour le terme d’interaction dans (14.81).
Comme application de (14.74), calculons la valeur moyenne de l’énergie
dans l’état |Φ 0 de N fermions indépendants défini par les nombres d’occupation n i =1 , 1 ≤ i ≤ N , n i =0,i>N, correspondant par exemple à un état
de N fermions à température nulle (§ 14.3.1)
|Φ 0 = |n 1 =1, ··· ,n N =1
(14.82)
Il suffit donc de tenir compte des états 1 ≤ i ≤ N . L’action de c
†
i sur |Φ 0 et
c i surΦ 0 | est évidente
c
†
i |Φ 0 =0
Φ 0 |c i =0