14. Particules identiques
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14.3.4 Autres formes du hamiltonien
Pour conclure cette section, nous allons donner deux autres formes utiles
du hamiltonien. Examinons d’abord le terme d’énergie cinétique que nous
récrivons
K =
d
3 rψ
† ( r )
P
2
2m
ψ( r )=
d
3 rψ
† ( r, t)Kψ( r, t)
où
P est l’opérateur impulsion, avec
P
2 u j ( r )=−
2 ∇
2 u j ( r )o u r |
P
2 |j = −
2 ∇
2 u j ( r )
Insérons les expressions (14.54) de ψ( r ) et ψ
† ( r ) dans l’expression de K qui
devient
K =
1
2m
d
3 rc
†
i c j i| r r |
P
2 |j = −
2
2m
c
†
i c j i|∇
2 |j
Répétant les mêmes manipulations sur les deux autres termes, H prend la
forme
H =
ij
c
†
i c j i
−
2
2m
∇
2 + U
j +
1
2
ijlm
c
†
i c j c m c l ij|W |lm
(14.74)
avec
ij|W |lm = W ij;lm =
d
3 r 1 d
3 r 2 u
∗
i ( r 1 )u
∗
j ( r 2 )W ( r 1 ,, r 2 )u l ( r 1 )u m ( r 2 )
(14.75)
En général, le potentiel W est invariant par translation : W = W ( r 1 − r 2 ).S i
de plus U =0 , le système de fermions est invariant par translation, et il est
naturel de choisir comme fonctions d’onde u i des ondes planes, afin de mettre
en évidence la conservation de l’impulsion, en quantifiant dans une boîte de
volume V
u i ( r )=
1
√
V
e
i ki· r
(14.76)
Le terme d’énergie cinétique est évidemment diagonal car nous utilisons une
représentation où
P est diagonal, et les éléments de matrice (14.75) de W sont
ij|W ( r 1 − r 2 )|lm =
1
V 2
d
3 r 1 d
3 r 2 exp
−i( k i · r 1 + k j · r 2
− k l · r 3 − k m · r 4 )
W ( r 1 − r 2 )
Effectuons le changement de variables de jacobien unité
R =
1
2
( r 1 + r 2 )
r = r 1 − r 2
(14.77)