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Physique quantique : Exercices et applications
Pour traiter le terme W, nous partons de
[ψ(j),ψ
† (1)ψ
† (2)ψ(2)ψ(1)] = [ψ(j),ψ
† (1)ψ
† (2)]ψ(2)ψ(1)
et nous utilisons à nouveau (14.57) pour obtenir
[ψ(j),ψ
† (1)ψ
† (2)]ψ(2)ψ(1) =
{ψ(j),ψ
† (1)}ψ
† (2) − ψ
† (1){ψ(j),ψ
† (2)}
ψ(2)ψ(1)
= δ( r 1 − r j )ψ
† (2)ψ(2)ψ(1) − δ( r 2 − r j )ψ
† (1)
ψ(2)ψ(1)
soit, pour le commutateur [ψ(j), W]
[ψ(j), W]=
d
3 rψ
† ( r )W ( r,, r j )ψ( r )ψ( r j )=X(j)ψ( r j )
(14.70)
Combinant les équations (14.68) à (14.70), nous déduisons le commutateur
[ψ(j),H]
[ψ(j),H]=
−
2
2m
∇
2
j + U (j)+X(j)
ψ(j)
(14.71)
Ce résultat intermédiaire est intéressant car il donne les équations du mouvement des opérateurs de champ dans le point de vue de Heisenberg
i
∂ψ( r, t)
∂t
=[ψ( r, t),H]=
−
2
2m
∇
2 + U ( r)+X( r)
ψ( r, t)
(14.72)
Nous reportons ce résultat dans l’expression de J
J =
N
j=1
−
2
2m
∇
2
j + U (j)
Φ EN
+
1
√
N !
N
j=1
0|ψ(1) ...ψ(j − 1)X(j)ψ(j +1)...ψ(N )|Φ EN
Nous pouvons enfin commuter X(j) avec ψ(1) ...ψ(j − 1) en utilisant
[ψ(i),X(j)] = W ( r i ,, r j )ψ(i)
et finalement
J =
⎡
⎣
N
j=1
−
2
2m
∇
2
j + U ( r j )
+
i W ( r i ,, r j )
⎤
⎦ Φ EN ( r 1 ,.... r N )
= EΦ EN ( r 1 ,.... r N )
(14.73)
ce qui montre que Φ EN est bien solution de l’équation de Schrödinger pour
N fermions dans un potentiel U ( r ) interagissant entre eux via un potentiel à
deux corps W ; ceci met un point final à la justification de l’expression (14.63)
du hamiltonien.