14. Particules identiques
627
On remarquera l’ordre des deux derniers termes dans la seconde ligne de
(14.63), qui est crucial pour que le signe de cette ligne soit correct. Le hamiltonien se décompose en énergie cinétique K, énergie potentielle à un corps U
et énergie potentielle à deux corps W
H = K + U + W
(14.64)
Il est immédiat de montrer que les opérateurs nombre de particules N (14.50)
et H commutent : [N,H]=0 , car chacun des termes de H contient autant d’opérateurs de création que d’opérateurs d’annihilation. Le hamiltonien
(14.63) ne change pas le nombre de particules. Il existe donc une base de H
(N )
formée de vecteurs propres |Φ EN communs à H et à N.
H|Φ EN = E|Φ EN
N|Φ EN = N |Φ EN
(14.65)
Pour justifier l’expression de H, examinons la quantité suivante J définie par
J =
1
√
N !
0|ψ(1) ...ψ(N )H|Φ EN
(14.66)
où nous avons utilisé (14.56) et la notation allégée r i → i. J peut aussi s’écrire
J =
1
√
N !
0|[ψ(1) ...ψ(N ),H]|Φ EN
car H|0 =0. En utilisant N fois la relation
[AB, C]=A[B, C]+[A, C]B
(14.67)
nous obtenons
J =
1
√
N !
N
j=0
0|ψ(1) ...ψ(j − 1)[ψ(j),H]ψ(j +1)...ψ(N )|Φ EN
Nous devons donc calculer le commutateur [ψ(j),H], ce que nous allons faire
successivement pour les termes K, U et W dans (14.64). Commençons par K
[ψ(j), K]=−
2
2m
d
3 r [ψ(j),ψ
† ( r)∇
2 ψ( r)]
Utilisant à nouveau (14.57), nous obtenons
[ψ(j),ψ
† ( r )ψ( r )] = δ( r − r j )ψ( r)
soit
[ψ(j), K]=−
2
2m
∇
2
j ψ( r j )
(14.68)
et de même
[ψ(j), U]=U ( r j )ψ( r j )
(14.69)
627
On remarquera l’ordre des deux derniers termes dans la seconde ligne de
(14.63), qui est crucial pour que le signe de cette ligne soit correct. Le hamiltonien se décompose en énergie cinétique K, énergie potentielle à un corps U
et énergie potentielle à deux corps W
H = K + U + W
(14.64)
Il est immédiat de montrer que les opérateurs nombre de particules N (14.50)
et H commutent : [N,H]=0 , car chacun des termes de H contient autant d’opérateurs de création que d’opérateurs d’annihilation. Le hamiltonien
(14.63) ne change pas le nombre de particules. Il existe donc une base de H
(N )
formée de vecteurs propres |Φ EN communs à H et à N.
H|Φ EN = E|Φ EN
N|Φ EN = N |Φ EN
(14.65)
Pour justifier l’expression de H, examinons la quantité suivante J définie par
J =
1
√
N !
0|ψ(1) ...ψ(N )H|Φ EN
(14.66)
où nous avons utilisé (14.56) et la notation allégée r i → i. J peut aussi s’écrire
J =
1
√
N !
0|[ψ(1) ...ψ(N ),H]|Φ EN
car H|0 =0. En utilisant N fois la relation
[AB, C]=A[B, C]+[A, C]B
(14.67)
nous obtenons
J =
1
√
N !
N
j=0
0|ψ(1) ...ψ(j − 1)[ψ(j),H]ψ(j +1)...ψ(N )|Φ EN
Nous devons donc calculer le commutateur [ψ(j),H], ce que nous allons faire
successivement pour les termes K, U et W dans (14.64). Commençons par K
[ψ(j), K]=−
2
2m
d
3 r [ψ(j),ψ
† ( r)∇
2 ψ( r)]
Utilisant à nouveau (14.57), nous obtenons
[ψ(j),ψ
† ( r )ψ( r )] = δ( r − r j )ψ( r)
soit
[ψ(j), K]=−
2
2m
∇
2
j ψ( r j )
(14.68)
et de même
[ψ(j), U]=U ( r j )ψ( r j )
(14.69)