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Physique quantique : Exercices et applications
Φ N est manifestement antisymétrique dans l’échange r i ↔ r j ,e nr a i s o nd e s
RAC (14.55). Une deuxième observation est que (avec r i → i) le produit
ψ(1) ···ψ(N ) détruit N fermions, et par conséquent
ψ(1) ···ψ(N )|Φ N ∝|0
Évaluons la normalisation de Φ N
N =
1
N !
d
3 r 1 ···d
3 r N
n
Φ N |ψ
† (N ) ···ψ
† (1) ···|ϕ n ϕ n |ψ(1) ···
× ψ(N )|Φ N
=
1
N !
d
3 r 2 ···d
3 r N Φ N |ψ
† (N ) ···ψ
† (2)N ψ(2) ···ψ(N )|Φ N
où nous avons utilisé l’expression (14.56) de N et le fait qu’une somme
n |ϕ n ϕ n | = I sur un système complet d’états propres de H F peut être
remplacée par le projecteur sur le vide |00|. Nous remarquons ensuite que
d
3 r 2 ψ
† (2)N ψ(2) =
d
3 r 2 ψ
† (2)ψ(2)(N − 1) = N(N − 1)
et par récurrence
N =
1
N !
Φ N |N(N − 1) ···(N − N +1)|Φ N =1
ce qui montre que Φ N est normalisée à l’unité. Comme cas particulier, nous
pouvons écrire le déterminant de Slater (14.41) comme
Φ α1...αN ( r 1 ,...,, r N )=
1
√
N !
0|ψ( r N ) ...ψ( r 1 )|n α1 ,...,n αN
(14.62)
avec n αi =1, 1 ≤ i ≤ N , et l’ordre des opérateurs de champ assure que le signe
global est correct (exercice 14.5.6). La supériorité du formalisme opératoriel
est manifeste : (14.62) comprend un seul terme, au lieu des N ! termes du
déterminant de Slater (14.41).
Venons-en maintenant au hamiltonien. Nous supposons que les fermions
de masse m sont soumis à un potentiel externe U ( r ) et qu’ils interagissent
deux à deux via un potentiel W ( r i ,, r j ). Nous allons montrer que l’expression
du hamiltonien est
H =
d
3 rψ
† ( r)
−
2
2m
∇
2
ψ( r )+
d
3 rψ
† ( r )U ( r )ψ( r )
+
1
2
d
3 r 1 d
3 r 2 ψ
† ( r 1 )ψ
† ( r 2 )W ( r 1 ,, r 2 )ψ( r 2 )ψ( r 1 )
(14.63)