14. Particules identiques
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Dans (14.54), les champs sont écrits dans le point de vue de Heisenberg ; les
champs dans le point de vue de Schrödinger sont donnés par ψ( r)=ψ( r, t =
0). On montre (exercice 14.5.6) que les opérateurs ψ et ψ
† sont indépendants
du choix de la base {u i }. Ils vérifient les RAC à temps égaux
{ψ( r, t),ψ( r
′ ,t)} = {ψ
† ( r, t),ψ
† ( r
′ ,t)} =0
{ψ( r, t),ψ
† ( r
′ ,t)} = δ( r − r
′ )I
(14.55)
La dernière relation se déduit de la relation de fermeture (14.40).
La relation d’orthogonalité (14.39) permet, quant à elle, de mettre l’opérateur nombre de particules sous la forme
N =
d
3 rψ
† ( r )ψ( r )
(14.56)
On en déduit les relations de commutation de N avec ψ
† et ψ en utilisant
[A, BC]={A, B}C − B{A, C}
(14.57)
On obtient les deux relations de commutation qui sont conjuguées hermitiennes
[N,ψ( r )] = −ψ( r )[ N,ψ
† ( r )] = ψ
† ( r )
(14.58)
L’interprétation physique de (14.58) est claire : ψ (ψ
† ) diminue (augmente) le
nombre de fermions d’une unité. Notre objectif est maintenant d’écrire dans le
point de vue de Schrödinger l’expression dans l’espace de Fock du hamiltonien
H en fonction des opérateurs de champ. Une étape intermédiaire consiste à
montrer une importante identité pour la fonction d’onde à N fermions. Soit
|Φ N ,u né t a tàN fermions, vecteur propre de N
N|Φ N = N |Φ N
(14.59)
Nous nous proposons de montrer que la fonction d’onde correctement normalisée
Φ N ( r 1 ,...,, r N )= r 1 ,...,, r N )|Φ N
peut se mettre sous la forme
Φ N ( r 1 ,...,, r N )=
1
√
N !
0|ψ( r 1 ) ...ψ( r N )|Φ N
(14.60)
ce que l’on peut aussi écrire
| r 1 ,...,, r N =
1
√
N !
ψ
† ( r N ) ...ψ
† ( r 1 )|0
(14.61)
L’opérateur ψ
† ( r ) appliqué au vide crée un état propre de la position. Pour
comprendre l’origine de l’équation (14.60), on remarque tout d’abord que