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Physique quantique : Exercices et applications
L’anticommmutateur
{c i ,c
†
i } := c i c
†
i + c
†
i c i
(14.47)
est donc un multiple de l’identité
{c i ,c
†
i } = I
Le facteur (−1)
ηi , qui assure l’antisymétrie du vecteur d’état, conduit à des
relations d’anticommutation pour les opérateurs c i et c j ainsi que pour c
†
i etc
†
j
pour i = j. On montre (exercice 14.5.6) que les relations d’anticommutation
complètes sont
{c i ,c
†
j } = δ ij I
{c i ,c j } = {c
†
i ,c
†
j } =0
(14.48)
L’opérateur N i nombre de fermions dans l’état i est
N i = c
†
i c i
N i |n 1 ,...,n i ,... = n i |n 1 ,...,n i ,...
(14.49)
et l’opérateur nombre total de fermions
N =
∞
i=1
c
†
i c i
(14.50)
En effet, N compte le nombre total de fermions
N|n 1 ,...,n i ,... =
∞
i=1
n i
|n 1 ,...,n i ,...
(14.51)
Les opérateurs c i et c
†
i changent le nombre de fermions d’une unité, et ils
n’agissent pas dans H
(N ) mais dans l’espace H F somme directe des H
(N ) ,
appelé espace de Fock
H F = H
(0) ⊕H
(1) ⊕···⊕H
(N ) ⊕···
(14.52)
L’espace à zéro particule H
(0) ,o ué t a td uv i d e|0, est annihilé par tous les
c i :
c i |0 =0 ∀i
(14.53)
14.3.3 Opérateurs de champ et hamiltonien
À partir des opérateurs c i et c
†
i et d’un ensemble complet de fonctions
d’onde à une particule {u i ( r, t)}, on construit les opérateurs de champ ψ( r, t)et
ψ
† ( r, t) agissant dans H F
ψ( r, t)=
∞
i=1
c i u i ( r, t)
ψ
† ( r, t)=
∞
i=1
c
†
i u
∗
i ( r, t)
(14.54)