14. Particules identiques
623
E =
α n α ε α (voir la note 13). On pourra faire correspondre à un ensemble
de nombres d’occupation {n αi } d’états individuels |α i ,u nét atàN fermions
|Φ nα 1 ,nα i ≡|n α1 ,...,n αi ,...
∞
i=1
n αi = N
(14.42)
Les états (14.42) sont appelés états de Fock, et ils forment une base orthonormée de l’espace de Hilbert des états à N fermions. Dans l’état (14.41),
n αi =1pour 1 ≤ i ≤ N et n αi =0pour i>N. Une fonction d’onde à N
fermions du type (14.41) s’écrit en général
Φ( r 1 ,...,, r N )= r 1 ,...,, r N |n α1 ,...,n αi ,...
(14.43)
Afin d’alléger les notations, posons n αi = n i . Nous allons définir l’opérateur d’annihilation c i par son action sur un état de nombres d’occupation
n 1 ,...,n i ,...
c i |n 1 ,...,n i ,... =(−1)
ηi |n 1 ,...,n i − 1,...
(14.44)
c i détruit un fermion dans l’état i.L ef a c t e u r(−1)
ηi est choisi de façon à
assurer l’antisymétrie dans l’échange de deux fermions, et pour définir η i ,i l
faut ordonner les nombres quantiques i. Cet ordre est arbitraire, mais il est
fixé une fois pour toutes. Le nombre η i est alors donné par
η i =
i−1
k=1
n k
(14.45)
Déterminons l’adjoint c
†
i de c i à l’aide de la définition de l’opérateur adjoint
n
′
1 ,...,n
′
i ,...|c i |n 1 ,...,n i ,... =(−1)
ηi n i δ n ′
1 n1 ...δ n ′
i ,ni−1 ...
= n 1 ,...,n i ,...|c
†
i |n
′
1 ,...,n
′
i ,...
∗
Cette équation sera vérifiée si l’action de c
†
i est donnée par
c
†
i |n
′
1 , ..., n
′
i , ... =(−1)
η
′
i (1 − n
′
i )|n
′
1 , ..., n
′
i +1,...
(14.46)
L’équation (14.46) montre que c
†
i crée un fermion dans l’état i,p o u r v uq u e
n
′
i =0;sin
′
i =1, le résultat est zéro, ce qui rend compte du principe de Pauli
s e l o nl e q u e lo nn ep e u tp a sm e t t r ep l u s d’un fermion dans le même état. Les
opérateurs c i et c
†
i obéissent à des relations d’anticommutation canoniques
(RAC). En effet, d’après (14.44) et (14.46)
c i c
†
i |n 1 ,...,n i ,... =( −1)
2ηi (1 − n i )(1 + n i )|n 1 ,...,n i ,...
=( 1 − n i )|n 1 ,...,n i ,...
c
†
i c i |n 1 ,...,n i ,... =( −1)
2ηi (2 − n i )n i |n 1 ,...,n i ,...
= n i |n 1 ,...,n i ,...
623
E =
α n α ε α (voir la note 13). On pourra faire correspondre à un ensemble
de nombres d’occupation {n αi } d’états individuels |α i ,u nét atàN fermions
|Φ nα 1 ,nα i ≡|n α1 ,...,n αi ,...
∞
i=1
n αi = N
(14.42)
Les états (14.42) sont appelés états de Fock, et ils forment une base orthonormée de l’espace de Hilbert des états à N fermions. Dans l’état (14.41),
n αi =1pour 1 ≤ i ≤ N et n αi =0pour i>N. Une fonction d’onde à N
fermions du type (14.41) s’écrit en général
Φ( r 1 ,...,, r N )= r 1 ,...,, r N |n α1 ,...,n αi ,...
(14.43)
Afin d’alléger les notations, posons n αi = n i . Nous allons définir l’opérateur d’annihilation c i par son action sur un état de nombres d’occupation
n 1 ,...,n i ,...
c i |n 1 ,...,n i ,... =(−1)
ηi |n 1 ,...,n i − 1,...
(14.44)
c i détruit un fermion dans l’état i.L ef a c t e u r(−1)
ηi est choisi de façon à
assurer l’antisymétrie dans l’échange de deux fermions, et pour définir η i ,i l
faut ordonner les nombres quantiques i. Cet ordre est arbitraire, mais il est
fixé une fois pour toutes. Le nombre η i est alors donné par
η i =
i−1
k=1
n k
(14.45)
Déterminons l’adjoint c
†
i de c i à l’aide de la définition de l’opérateur adjoint
n
′
1 ,...,n
′
i ,...|c i |n 1 ,...,n i ,... =(−1)
ηi n i δ n ′
1 n1 ...δ n ′
i ,ni−1 ...
= n 1 ,...,n i ,...|c
†
i |n
′
1 ,...,n
′
i ,...
∗
Cette équation sera vérifiée si l’action de c
†
i est donnée par
c
†
i |n
′
1 , ..., n
′
i , ... =(−1)
η
′
i (1 − n
′
i )|n
′
1 , ..., n
′
i +1,...
(14.46)
L’équation (14.46) montre que c
†
i crée un fermion dans l’état i,p o u r v uq u e
n
′
i =0;sin
′
i =1, le résultat est zéro, ce qui rend compte du principe de Pauli
s e l o nl e q u e lo nn ep e u tp a sm e t t r ep l u s d’un fermion dans le même état. Les
opérateurs c i et c
†
i obéissent à des relations d’anticommutation canoniques
(RAC). En effet, d’après (14.44) et (14.46)
c i c
†
i |n 1 ,...,n i ,... =( −1)
2ηi (1 − n i )(1 + n i )|n 1 ,...,n i ,...
=( 1 − n i )|n 1 ,...,n i ,...
c
†
i c i |n 1 ,...,n i ,... =( −1)
2ηi (2 − n i )n i |n 1 ,...,n i ,...
= n i |n 1 ,...,n i ,...