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Physique quantique : Exercices et applications
nous le transposerons dans la section suivante au cas des bosons. Soit P une
permutation arbitraire de (1,...,N)
(1,...,N)
P
− → (P 1,...,PN)
(14.36)
Cette permutation est représentée dans l’espace de Hilbert à N fermions H
(N )
par un opérateur unitaire U P
[U P Φ]( r 1 ,...,, r N )=Φ( r P 1 ,...,, r PN )
(14.37)
Si δ P est la signature de la permutation P , nous devons avoir d’après le
postulat d’antisymétrisation pour les fermions
[U P Φ]( r 1 ,...,, r N )=δ P Φ( r 1 ,...,, r N )
(14.38)
Soit {u α ( r )= r |α} un ensemble de fonctions d’onde orthonormées à une
particule
13
d
3 ru
∗
α ( r )u β ( r )=δ αβ
(14.39)
formant une base de l’espace des états à un fermion (relation de fermeture)
α
u α ( r )u
∗
α ( r
′ )=δ( r − r
′ )
(14.40)
Une base des états à N fermions peut être construite à l’aide des fonctions
d’onde normalisées
Φ α1...αN ( r 1 ,...,, r N )=
1
√
N !
P
δ P u α1 ( r P 1 ),...u αN ( r PN )
=
1
√
N !
u α1 ( r 1 ) ··· u α1 ( r N )
u α2 ( r 1 ) ··· u α2 ( r N )
. . .
. . .
u αN ( r 1 ) ··· u αN ( r N )
(14.41)
L’idée de départ du formalisme opératoriel est de construire une base de l’espace de Hilbert pour N fermions en se donnant pour N fermions indépendants
les nombres d’occupation n α de chaque état |α. En raison du principe de Pauli,
le nombre n α ne peut valoir que n α =0:état|α non occupé, ou n α =1:état
|α occupé. Comme n α = 0 ou 1, n α vérifie n
2
α = n α ,etdeplus
α n α = N et
13. Si H (1) est le hamiltonien pour un seul fermion, on peut par exemple prendre comme
fonctions uα( r ) les fonctions propres d’un hamiltonien à une particule
H
(1) uα( r )=
−
2
2m
∇
2 + U ( r )
uα( r )=εαuα( r )