14. Particules identiques
621
donne aussi la densité d’électrons ; reportant cette valeur dans (14.32) avec
s =1/2, on trouve pour le niveau de Fermi ε F ≃ 7.0 eV. Ceci est un ordre de
grandeur typique pour les électrons de conduction dans un métal : l’énergie
de Fermi est de quelques eV.
Calculons maintenant l’énergie du gaz de Fermi. D’après (14.28) avec s =
1/2, on trouve pour l’énergie du gaz
E =
V
π 2 2
pF
0
p
2 dp
p
2
2m
=
3
5
Nε F
(14.33)
où nous avons utilisé l’expression (14.30) de p F en fonction de N dans le cas
s =1/2. Une autre expression intéressante est celle de l’énergie par particule
E/N
E
N
=(3π
2 )
2/3 3
2
10m
n
2/3
(14.34)
L’énergie cinétique moyenne d’une particule augmente comme n
2/3 .D a n sl e
cas d’un gaz d’électrons, l’énergie potentielle moyenne est de l’ordre de e
2 /d,
où d ∝ n
−1/3 est la distance moyenne entre deux électrons. L’énergie potentielle moyenne par particule est donc ∝ n
1/3 ,e tp l u su ng a zd eF e r m ie s t
dense, plus l’énergie cinétique ∝ n
2/3 l’emporte sur l’énergie potentielle. Ce
résultat est à l’opposé de celui d’un gaz classique, et contrairement à un gaz
classique, un gaz de Fermi est d’autant plus proche d’un gaz parfait que sa
densité est grande !
On peut donner une image intuitive du gaz de Fermi, en remarquant que
la dispersion ∆p sur l’impulsion est de l’ordre de p F , tandis que l’ordre de
grandeur de la dispersion sur la position est V
1/3 . On tire donc de (14.31)
∆p ∆x ∼ N
1/3
(14.35)
En raison du principe de Pauli, le de l’inégalité de Heisenberg est transformé
en N
1/3 : le volume occupé dans l’espace de phase est plus grand que pour
des particules non identiques.
14.3.2 Opérateurs de création et d’annihilation
Les manipulations de fonctions d’onde à N particules sont très fastidieuses,
et pour cette raison, on préfère utiliser un formalisme opératoriel ou formalisme du champ de Schrödinger, souvent improprement appelé formalisme de
la “seconde quantification” : une expression qui devrait être bannie. Dans
cette section, nous allons établir ce formalisme dans le cas des fermions
12 ,e t
12. Afin de simplifier les notations, nous supposons que les fermions sont polarisés, de
façon à pouvoir négliger les degrés de liberté de spin. Il est aussi possible de considérer
des fermions de spin zéro, ce qui serait évidemment absurde dans une théorie invariante
de Lorentz. En revanche, une théorie invariante de Galilée s’accommode parfaitement de
fermions de spin zéro.
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donne aussi la densité d’électrons ; reportant cette valeur dans (14.32) avec
s =1/2, on trouve pour le niveau de Fermi ε F ≃ 7.0 eV. Ceci est un ordre de
grandeur typique pour les électrons de conduction dans un métal : l’énergie
de Fermi est de quelques eV.
Calculons maintenant l’énergie du gaz de Fermi. D’après (14.28) avec s =
1/2, on trouve pour l’énergie du gaz
E =
V
π 2 2
pF
0
p
2 dp
p
2
2m
=
3
5
Nε F
(14.33)
où nous avons utilisé l’expression (14.30) de p F en fonction de N dans le cas
s =1/2. Une autre expression intéressante est celle de l’énergie par particule
E/N
E
N
=(3π
2 )
2/3 3
2
10m
n
2/3
(14.34)
L’énergie cinétique moyenne d’une particule augmente comme n
2/3 .D a n sl e
cas d’un gaz d’électrons, l’énergie potentielle moyenne est de l’ordre de e
2 /d,
où d ∝ n
−1/3 est la distance moyenne entre deux électrons. L’énergie potentielle moyenne par particule est donc ∝ n
1/3 ,e tp l u su ng a zd eF e r m ie s t
dense, plus l’énergie cinétique ∝ n
2/3 l’emporte sur l’énergie potentielle. Ce
résultat est à l’opposé de celui d’un gaz classique, et contrairement à un gaz
classique, un gaz de Fermi est d’autant plus proche d’un gaz parfait que sa
densité est grande !
On peut donner une image intuitive du gaz de Fermi, en remarquant que
la dispersion ∆p sur l’impulsion est de l’ordre de p F , tandis que l’ordre de
grandeur de la dispersion sur la position est V
1/3 . On tire donc de (14.31)
∆p ∆x ∼ N
1/3
(14.35)
En raison du principe de Pauli, le de l’inégalité de Heisenberg est transformé
en N
1/3 : le volume occupé dans l’espace de phase est plus grand que pour
des particules non identiques.
14.3.2 Opérateurs de création et d’annihilation
Les manipulations de fonctions d’onde à N particules sont très fastidieuses,
et pour cette raison, on préfère utiliser un formalisme opératoriel ou formalisme du champ de Schrödinger, souvent improprement appelé formalisme de
la “seconde quantification” : une expression qui devrait être bannie. Dans
cette section, nous allons établir ce formalisme dans le cas des fermions
12 ,e t
12. Afin de simplifier les notations, nous supposons que les fermions sont polarisés, de
façon à pouvoir négliger les degrés de liberté de spin. Il est aussi possible de considérer
des fermions de spin zéro, ce qui serait évidemment absurde dans une théorie invariante
de Lorentz. En revanche, une théorie invariante de Galilée s’accommode parfaitement de
fermions de spin zéro.