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Physique quantique : Exercices et applications
l
1
2
F
Fig. 14.2 – Remplissage des niveaux du gaz de Fermi.
souvent appelée moment de Fermi. Comme l’énergie est une fonction croissante de p, tous les états { p, m z } tels que p ≤ p F auront un nombre d’occupation égal à un. Il est maintenant immédiat de calculer l’impulsion de
Fermi
N =
(2s +1)V
h 3
p≤pF
d
3 p =
(2s +1)V
h 3
4π
3
p
3
F
(14.30)
Si n = N/V est la densité de fermions, le moment de Fermi vaut
p F =
6π
2
2s +1
1/3
n
1/3
(14.31)
Cette équation est valable aussi bien dans le régime non relativiste que relativiste. La sphère de rayon p F est appelée sphère de Fermi et sa surface la
surface de Fermi. Ces notions se généralisent au cas de la physique du solide, où l’on n’a plus la symétrie sphérique, mais une symétrie déterminée par
le réseau cristallin : la surface de Fermi, qui acquiert alors une forme plus
compliquée que celle d’une sphère, est un objet fondamental dans l’étude des
propriétés électromagnétiques des métaux. On déduit de (14.31) l’énergie de
Fermi dans le cas non relativiste où ε = p
2 /(2m)
ε F =
p
2
F
2m
=
6π
2
2s +1
2/3
2
2m
n
2/3
(14.32)
La cas usuel est s =1/2. L’énergie de Fermi est l’énergie caractéristique d’un
système de N fermions dans une boîte de volume V.
Il est instructif de donner un ordre de grandeur dans le cas particulier le
plus important de gaz de Fermi, celui des électrons de conduction dans un
métal. Prenons l’exemple du cuivre, dont la masse volumique est 8.9 g.cm
−3
et la masse atomique 63.5, ce qui correspond à une densité n de 8.4 × 10
28
atomes par m
3 . Le cuivre ayant un électron de conduction par atome, ce chiffre