14. Particules identiques
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et le terme d’interférences est réduit d’un facteur deux par rapport à ce que
l’on obtiendrait dans le cas (interdit par le théorème spin-statistique !) de la
diffusion de deux fermions de spin zéro.
14.3 États collectifs de fermions
14.3.1 Le gaz de Fermi à température nulle
La statistique a une influence déterminante sur le comportement d’un système de N particules identiques, N ≫ 1, que l’on peut appeler le comportement collectif d’un tel système. Commençons par les fermions, en examinant
le cas de N fermions sans interactions. On peut, par exemple, supposer que
ces N fermions indépendants se trouvent dans un puits de potentiel dont les
niveaux d’énergie ε α pour une particule individuelle sont étiquetés par un indice α. L’indice α représente la totalité des nombres quantiques nécessaires
pour spécifier l’état α : impulsion, spin... Il peut parfaitement arriver, et c’est
même le cas général, que plusieurs niveaux ε α c o r r e s p o n d e n tàl am ê m ev a -
leur de l’énergie : autrement dit, les niveaux d’énergie du hamiltonien d’une
particule dans le puits de potentiel sont dégénérés. Essayons de construire le
niveau d’énergie fondamental de l’ensemble des N fermions. Comme on peut
m e t t r ea um a x i m u mu nf e r m i o nd a n su né t a tε α , l’état de plus basse énergie est obtenu en remplissant les niveaux un à un à partir du niveau le plus
bas, jusqu’au moment où les N fermions ont trouvé leur place dans un niveau
(figure 14.2). L’état de plus grande énergie ε α,max que l’on a dû utiliser pour
placer tous les fermions est appelé niveau de Fermi et noté ε F
11 . Prenons
comme puits de potentiel une boîte cubique de volume V : un ensemble de
fermions dans une boîte est appelé gaz de Fermi. L’état quantique d’un fermion est alors spécifié par la donnée de son impulsion
p et de la composante
m z de son spin : α = { p, m z }. En l’absence de champ extérieur, l’énergie est
purement cinétique, ε =
p
2 /(2m) et indépendante de m z . À chaque valeur
de p correspondent 2s +1 états de même énergie et la somme sur α devient
d’après (8.134)
α
=
p,mz
=(2s +1)
p
→
(2s +1)V
h 3
d
3 p
(14.28)
À l’énergie de Fermi ε F correspond une impulsion de Fermi p F
ε F =
p
2
F
2m
ou en g´ en´ eral ε F =
p 2
F c 2 + m 2 c 4 − mc
2
(14.29)
11. Du point de vue de la thermodynamique, le système de fermions que nous considérons
est un système à température nulle T =0. Le niveau de Fermi est aussi le potentiel chimique,
puisqu’à température nulle le potentiel chimique est l’énergie nécessaire pour ajouter une
particule. À température non nulle, la probabilité d’occupation des niveaux au-dessus du
niveau de Fermi est différente de zéro, et le potentiel chimique ne coïncide plus avec le
niveau de Fermi.
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et le terme d’interférences est réduit d’un facteur deux par rapport à ce que
l’on obtiendrait dans le cas (interdit par le théorème spin-statistique !) de la
diffusion de deux fermions de spin zéro.
14.3 États collectifs de fermions
14.3.1 Le gaz de Fermi à température nulle
La statistique a une influence déterminante sur le comportement d’un système de N particules identiques, N ≫ 1, que l’on peut appeler le comportement collectif d’un tel système. Commençons par les fermions, en examinant
le cas de N fermions sans interactions. On peut, par exemple, supposer que
ces N fermions indépendants se trouvent dans un puits de potentiel dont les
niveaux d’énergie ε α pour une particule individuelle sont étiquetés par un indice α. L’indice α représente la totalité des nombres quantiques nécessaires
pour spécifier l’état α : impulsion, spin... Il peut parfaitement arriver, et c’est
même le cas général, que plusieurs niveaux ε α c o r r e s p o n d e n tàl am ê m ev a -
leur de l’énergie : autrement dit, les niveaux d’énergie du hamiltonien d’une
particule dans le puits de potentiel sont dégénérés. Essayons de construire le
niveau d’énergie fondamental de l’ensemble des N fermions. Comme on peut
m e t t r ea um a x i m u mu nf e r m i o nd a n su né t a tε α , l’état de plus basse énergie est obtenu en remplissant les niveaux un à un à partir du niveau le plus
bas, jusqu’au moment où les N fermions ont trouvé leur place dans un niveau
(figure 14.2). L’état de plus grande énergie ε α,max que l’on a dû utiliser pour
placer tous les fermions est appelé niveau de Fermi et noté ε F
11 . Prenons
comme puits de potentiel une boîte cubique de volume V : un ensemble de
fermions dans une boîte est appelé gaz de Fermi. L’état quantique d’un fermion est alors spécifié par la donnée de son impulsion
p et de la composante
m z de son spin : α = { p, m z }. En l’absence de champ extérieur, l’énergie est
purement cinétique, ε =
p
2 /(2m) et indépendante de m z . À chaque valeur
de p correspondent 2s +1 états de même énergie et la somme sur α devient
d’après (8.134)
α
=
p,mz
=(2s +1)
p
→
(2s +1)V
h 3
d
3 p
(14.28)
À l’énergie de Fermi ε F correspond une impulsion de Fermi p F
ε F =
p
2
F
2m
ou en g´ en´ eral ε F =
p 2
F c 2 + m 2 c 4 − mc
2
(14.29)
11. Du point de vue de la thermodynamique, le système de fermions que nous considérons
est un système à température nulle T =0. Le niveau de Fermi est aussi le potentiel chimique,
puisqu’à température nulle le potentiel chimique est l’énergie nécessaire pour ajouter une
particule. À température non nulle, la probabilité d’occupation des niveaux au-dessus du
niveau de Fermi est différente de zéro, et le potentiel chimique ne coïncide plus avec le
niveau de Fermi.