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Physique quantique : Exercices et applications
Limitons-nous à la diffusion de deux fermions identiques de spin 1/2, par
exemple deux neutrons. Dans ce cas, on peut définir comme au § 13.2.4 une
amplitude de diffusion ˆ
f (θ) qui est une matrice 4 × 4 dans l’espace produit
tensoriel des deux spins. Si P t et P s sont les projecteurs sur les états triplet
et singulet, et si la diffusion ne change pas le spin total, on pourra écrire
ˆ
f (θ)=
f s (θ)+f s (π − θ)
P s +
f t (θ) − f t (π − θ)
P t
(14.24)
ce qui assure l’antisymétrie espace+spin de l’amplitude. Si l’on développe
suivant (13.16) [f s (θ)+f s (π − θ)] et [f t (θ) − f t (π − θ)] en ondes partielles,
la diffusion aura lieu dans les ondes l =0, 2, ... (ou ondes s, d, ...)p o u rd e s
neutrons dans l’état singulet, et dans dans les ondes l =1 , 3, ... (ou ondes
p, f , ...) pour des neutrons dans l’état triplet. La section efficace s’obtient
comme au § 13.2.4. Si la polarisation initiale de l’ensemble des deux neutrons
est notée α et la polarisation finale β, la section efficace différentielle sera
dσ βα
dΩ
= ||β| ˆ
f (θ)|α|
2
(14.25)
Si on ne mesure pas la polarisation des neutrons finaux, on doit sommer sur
β et si l’état initial est une superposition incohérente d’états de polarisation
|α avec une probabilité p α
dσ
dΩ
=
α
p α
β
α| ˆ
f
† |ββ| ˆ
f |α
=
α
p α α| ˆ
f
† ˆ
f |α = Tr
ρ in ˆ
f
† ˆ
f
(14.26)
où ρ in est l’opérateur statistique initial des états de spin
ρ in =
α
p α |αα|
Lorsque les neutrons initiaux ne sont pas polarisés, ρ in = I/4 et
dσ
dΩ
non pol
=
1
4
Tr
ˆ
f
† ˆ
f
=
1
4
Tr
f
tot∗
s
P s + f
tot∗
t
P t
f
tot
s P s + f
tot
t P t
=
1
4
Tr
|f
tot
s |
2 P s + |f
tot
t |
2 P t
=
1
4
|f
tot
s |
2 +
3
4
|f
tot
t |
2
=
1
4
|f s (θ)+f s (π − θ)|
2 +
3
4
|f t (θ) − f t (π − θ)|
2
(14.27)
Les poids 1/4 et 3/4 sont, bien sûr, reliés au fait qu’il y a un seul état singulet
et trois états triplets. La section efficace totale s’obtient par (14.23). Lorsque
la diffusion est indépendante du spin, f s = f t = f , ce qui est le cas de la diffusion coulombienne de deux particules chargées, par exemple deux électrons
(exercice 13.5.4)
dσ
dΩ
non pol
= |f (θ)|
2 + |f (π − θ)|
2 − Re[f (θ)f
∗ (π − θ)]
Physique quantique : Exercices et applications
Limitons-nous à la diffusion de deux fermions identiques de spin 1/2, par
exemple deux neutrons. Dans ce cas, on peut définir comme au § 13.2.4 une
amplitude de diffusion ˆ
f (θ) qui est une matrice 4 × 4 dans l’espace produit
tensoriel des deux spins. Si P t et P s sont les projecteurs sur les états triplet
et singulet, et si la diffusion ne change pas le spin total, on pourra écrire
ˆ
f (θ)=
f s (θ)+f s (π − θ)
P s +
f t (θ) − f t (π − θ)
P t
(14.24)
ce qui assure l’antisymétrie espace+spin de l’amplitude. Si l’on développe
suivant (13.16) [f s (θ)+f s (π − θ)] et [f t (θ) − f t (π − θ)] en ondes partielles,
la diffusion aura lieu dans les ondes l =0, 2, ... (ou ondes s, d, ...)p o u rd e s
neutrons dans l’état singulet, et dans dans les ondes l =1 , 3, ... (ou ondes
p, f , ...) pour des neutrons dans l’état triplet. La section efficace s’obtient
comme au § 13.2.4. Si la polarisation initiale de l’ensemble des deux neutrons
est notée α et la polarisation finale β, la section efficace différentielle sera
dσ βα
dΩ
= ||β| ˆ
f (θ)|α|
2
(14.25)
Si on ne mesure pas la polarisation des neutrons finaux, on doit sommer sur
β et si l’état initial est une superposition incohérente d’états de polarisation
|α avec une probabilité p α
dσ
dΩ
=
α
p α
β
α| ˆ
f
† |ββ| ˆ
f |α
=
α
p α α| ˆ
f
† ˆ
f |α = Tr
ρ in ˆ
f
† ˆ
f
(14.26)
où ρ in est l’opérateur statistique initial des états de spin
ρ in =
α
p α |αα|
Lorsque les neutrons initiaux ne sont pas polarisés, ρ in = I/4 et
dσ
dΩ
non pol
=
1
4
Tr
ˆ
f
† ˆ
f
=
1
4
Tr
f
tot∗
s
P s + f
tot∗
t
P t
f
tot
s P s + f
tot
t P t
=
1
4
Tr
|f
tot
s |
2 P s + |f
tot
t |
2 P t
=
1
4
|f
tot
s |
2 +
3
4
|f
tot
t |
2
=
1
4
|f s (θ)+f s (π − θ)|
2 +
3
4
|f t (θ) − f t (π − θ)|
2
(14.27)
Les poids 1/4 et 3/4 sont, bien sûr, reliés au fait qu’il y a un seul état singulet
et trois états triplets. La section efficace totale s’obtient par (14.23). Lorsque
la diffusion est indépendante du spin, f s = f t = f , ce qui est le cas de la diffusion coulombienne de deux particules chargées, par exemple deux électrons
(exercice 13.5.4)
dσ
dΩ
non pol
= |f (θ)|
2 + |f (π − θ)|
2 − Re[f (θ)f
∗ (π − θ)]