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Physique quantique : Exercices et applications
un second deutéron |A 2 en supposant pour l’instant qu’un nombre quantique
distingue le proton et le neutron de ce noyau de ceux du précédent. En nous
inspirant de la chromodynamique quantique, imaginons que nous puissions
attribuer une couleur aux protons et aux neutrons, verte pour le premier
noyau et rouge pour le second. Nous aurons donc une seconde amplitude
a
′
2 b
′
2 |A
′
2 , le prime indiquant qu’il s’agit de neutrons et de protons rouges,
tandis que l’amplitude correspondante pour le proton et le neutron verts est
notée a 1 b 1 |A 1 . Formons l’état à deux deutérons |A 1 A
′
2 . L’amplitude pour
trouver le proton et le neutron verts dans les états a 1 et b 1 ,l ep r o t o ne tl e
neutron rouges dans les états a
′
2 et b
′
2 est, en utilisant les propriétés du produit
tensoriel
a 1 b 1 a
′
2 b
′
2 |A 1 A
′
2 = a 1 b 1 |A 1 a
′
2 b
′
2 |A
′
2
Mais on ne peut pas peindre les protons et les neutrons en rouge ou en vert, et
il nous faut revenir au cas réel, où l’amplitude est a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 . Comme
le proton et le neutron sont des fermions, cette amplitude doit être antisymétrique dans les échanges de numérotation a 1 ↔ a 2 et b 1 ↔ b 2
a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 = a 1 b 1 |A 1 a 2 b 2 |A 2 −−a 2 b 1 |A 1 a 1 b 2 |A 2
− a 1 b 2 |A 1 a 2 b 1 |A 2 + a 2 b 2 |A 1 a 1 b 1 |A 2
Cette amplitude est symétrique dans l’échange A 1 ↔ A 2
a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 |A 2 A 1
(14.19)
et le deutéron est donc un boson. De façon générale, une particule composée
d’un nombre pair de fermions est un boson, et c’est un fermion si ce nombre
est impair. Ainsi le proton, formé de trois quarks de spin 1/2, est un fermion,
tandis que le méson π, formé d’un quark et d’un antiquark, est un boson.
L’atome d’
4 He, formé de deux protons, deux neutrons et deux électrons, est un
boson, alors que son isotope, l’atome d’
3 He, formé de deux protons, un neutron
et deux électrons, est un fermion, ce qui a pour conséquence un comportement
totalement différent de ces deux isotopes à basse température. On remarque
que ces résultats sont compatibles avec le théorème spin-statistique, puisque
qu’avec un nombre impair de particules de spin demi-entier, on ne peut former
qu’une particule de spin demi-entier, un fermion, tandis qu’avec un nombre
pair de particules de spin demi-entier, on ne peut former qu’une particule de
spin entier, un boson.
14.2 Diffusion de particules identiques
Revenons à la figure 14.1 que l’on peut interpréter comme décrivant la
diffusion
16 O18 O dans le référentiel du centre de masse. Nous supposons
la dégénérescence du niveau fondamental levée par un champ magnétique :
les atomes sont dans le niveau Zeeman le plus bas (cf. § 15.2.3). Soit f (θ)
Physique quantique : Exercices et applications
un second deutéron |A 2 en supposant pour l’instant qu’un nombre quantique
distingue le proton et le neutron de ce noyau de ceux du précédent. En nous
inspirant de la chromodynamique quantique, imaginons que nous puissions
attribuer une couleur aux protons et aux neutrons, verte pour le premier
noyau et rouge pour le second. Nous aurons donc une seconde amplitude
a
′
2 b
′
2 |A
′
2 , le prime indiquant qu’il s’agit de neutrons et de protons rouges,
tandis que l’amplitude correspondante pour le proton et le neutron verts est
notée a 1 b 1 |A 1 . Formons l’état à deux deutérons |A 1 A
′
2 . L’amplitude pour
trouver le proton et le neutron verts dans les états a 1 et b 1 ,l ep r o t o ne tl e
neutron rouges dans les états a
′
2 et b
′
2 est, en utilisant les propriétés du produit
tensoriel
a 1 b 1 a
′
2 b
′
2 |A 1 A
′
2 = a 1 b 1 |A 1 a
′
2 b
′
2 |A
′
2
Mais on ne peut pas peindre les protons et les neutrons en rouge ou en vert, et
il nous faut revenir au cas réel, où l’amplitude est a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 . Comme
le proton et le neutron sont des fermions, cette amplitude doit être antisymétrique dans les échanges de numérotation a 1 ↔ a 2 et b 1 ↔ b 2
a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 = a 1 b 1 |A 1 a 2 b 2 |A 2 −−a 2 b 1 |A 1 a 1 b 2 |A 2
− a 1 b 2 |A 1 a 2 b 1 |A 2 + a 2 b 2 |A 1 a 1 b 1 |A 2
Cette amplitude est symétrique dans l’échange A 1 ↔ A 2
a 1 b 1 a 2 b 2 |A 1 A 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 |A 2 A 1
(14.19)
et le deutéron est donc un boson. De façon générale, une particule composée
d’un nombre pair de fermions est un boson, et c’est un fermion si ce nombre
est impair. Ainsi le proton, formé de trois quarks de spin 1/2, est un fermion,
tandis que le méson π, formé d’un quark et d’un antiquark, est un boson.
L’atome d’
4 He, formé de deux protons, deux neutrons et deux électrons, est un
boson, alors que son isotope, l’atome d’
3 He, formé de deux protons, un neutron
et deux électrons, est un fermion, ce qui a pour conséquence un comportement
totalement différent de ces deux isotopes à basse température. On remarque
que ces résultats sont compatibles avec le théorème spin-statistique, puisque
qu’avec un nombre impair de particules de spin demi-entier, on ne peut former
qu’une particule de spin demi-entier, un fermion, tandis qu’avec un nombre
pair de particules de spin demi-entier, on ne peut former qu’une particule de
spin entier, un boson.
14.2 Diffusion de particules identiques
Revenons à la figure 14.1 que l’on peut interpréter comme décrivant la
diffusion
16 O18 O dans le référentiel du centre de masse. Nous supposons
la dégénérescence du niveau fondamental levée par un champ magnétique :
les atomes sont dans le niveau Zeeman le plus bas (cf. § 15.2.3). Soit f (θ)