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Physique quantique : Exercices et applications
antisymétriques dans cet échange. Comme application, montrons que ces propriétés de symétrie affectent le spectre de rotation d’une molécule diatomique
homonucléaire, c’est-à-dire une molécule dont les deux noyaux sont strictement identiques, appartenant au même isotope, par exemple la molécule
1 H1 H=H 2 , par opposition à la molécule hétéronucléaire
1 H2 Ho uH - D ,o ùu n
proton est remplacé par un deutéron D=
2 H : le deutéron est un isotope
de l’hydrogène, noyau atomique formé d’un proton et d’un neutron. La dynamique des noyaux est celle d’un rotateur sphérique (cf. § 9.3.1) dont les
fonctions d’onde sont les harmoniques sphériques Y
m
j (ˆ r),o ù r est le vecteur
joignant les deux noyaux. Les niveaux de rotation, ou le spectre de rotation,
sont donnés en fonction de j par (9.54)
E j =
j(j +1)
2I
où I est le moment d’inertie.
Si l’on choisit l’origine des coordonnées au milieu de la droite joignant les
noyaux, le hamiltonien H des électrons est invariant dans l’opération parité Π,
r →− r : [Π,H]=0(cf. § 7.3.3). On peut donc diagonaliser simultanément
Π et H.S o i t|ψ el , un vecteur propre de l’état électronique commun à H
et Π. Comme Π
2 = I, les valeurs propres de Π sont ±1, Π|ψ el = ±|ψ el
(cf. (7.52)). Dans la majorité des cas, et en particulier dans celui de la molécule
d’hydrogène, l’état fondamental électronique correspond au signe +, ce que
nous allons admettre dans la discussion qui suit. L’opération d’échange des
numérotations des deux noyaux correspond à r →− r , et dans cette opération
la fonction d’onde des noyaux est multipliée par la parité de l’harmonique
sphérique, (−1)
j . Si les deux noyaux ont un spin s, le moment angulaire total
F va de zéro à 2s. Le vecteur d’état total de la molécule doit être symétrique
(resp. antisymétrique) dans l’échange des numérotations des deux noyaux si
ces noyaux sont des bosons (resp. fermions), et lorsque les deux noyaux sont
des bosons (s entier), deux cas sont possibles
• F pair et j pair
• F impair et j impair
Le résultat est identique lorsque les deux noyaux sont des fermions (s demientier). La situation inverse prévaut bien sûr dans les rares cas où la parité
de |ψ el est négative. Dans le cas de la molécule d’hydrogène, le spin des protons est s =1 /2,e tF =0(para-hydrogène) ou F =1(ortho-hydrogène).
La valeur de F fi x el ap a r i t éd ej : F =1correspond à des valeurs de j
impaires, et F =0àd e sv a l e u r sd ej paires. Il n’y a pas de restrictions sur
j dans le cas de la molécule H-D. En revanche, l’identité des noyaux n’affecte pas les niveaux de vibration. En effet, les noyaux n’échangent pas leur
position comme dans une rotation : ils sont identiques, mais pas indiscernables. Une autre conséquence importante de la statistique est l’apparition
de forces d’échange, qui sont en particulier responsables du magnétisme. Le magnétisme correspond à l’alignement d’un nombre macroscopique de spins électroniques dans une même direction, et cet
Physique quantique : Exercices et applications
antisymétriques dans cet échange. Comme application, montrons que ces propriétés de symétrie affectent le spectre de rotation d’une molécule diatomique
homonucléaire, c’est-à-dire une molécule dont les deux noyaux sont strictement identiques, appartenant au même isotope, par exemple la molécule
1 H1 H=H 2 , par opposition à la molécule hétéronucléaire
1 H2 Ho uH - D ,o ùu n
proton est remplacé par un deutéron D=
2 H : le deutéron est un isotope
de l’hydrogène, noyau atomique formé d’un proton et d’un neutron. La dynamique des noyaux est celle d’un rotateur sphérique (cf. § 9.3.1) dont les
fonctions d’onde sont les harmoniques sphériques Y
m
j (ˆ r),o ù r est le vecteur
joignant les deux noyaux. Les niveaux de rotation, ou le spectre de rotation,
sont donnés en fonction de j par (9.54)
E j =
j(j +1)
2I
où I est le moment d’inertie.
Si l’on choisit l’origine des coordonnées au milieu de la droite joignant les
noyaux, le hamiltonien H des électrons est invariant dans l’opération parité Π,
r →− r : [Π,H]=0(cf. § 7.3.3). On peut donc diagonaliser simultanément
Π et H.S o i t|ψ el , un vecteur propre de l’état électronique commun à H
et Π. Comme Π
2 = I, les valeurs propres de Π sont ±1, Π|ψ el = ±|ψ el
(cf. (7.52)). Dans la majorité des cas, et en particulier dans celui de la molécule
d’hydrogène, l’état fondamental électronique correspond au signe +, ce que
nous allons admettre dans la discussion qui suit. L’opération d’échange des
numérotations des deux noyaux correspond à r →− r , et dans cette opération
la fonction d’onde des noyaux est multipliée par la parité de l’harmonique
sphérique, (−1)
j . Si les deux noyaux ont un spin s, le moment angulaire total
F va de zéro à 2s. Le vecteur d’état total de la molécule doit être symétrique
(resp. antisymétrique) dans l’échange des numérotations des deux noyaux si
ces noyaux sont des bosons (resp. fermions), et lorsque les deux noyaux sont
des bosons (s entier), deux cas sont possibles
• F pair et j pair
• F impair et j impair
Le résultat est identique lorsque les deux noyaux sont des fermions (s demientier). La situation inverse prévaut bien sûr dans les rares cas où la parité
de |ψ el est négative. Dans le cas de la molécule d’hydrogène, le spin des protons est s =1 /2,e tF =0(para-hydrogène) ou F =1(ortho-hydrogène).
La valeur de F fi x el ap a r i t éd ej : F =1correspond à des valeurs de j
impaires, et F =0àd e sv a l e u r sd ej paires. Il n’y a pas de restrictions sur
j dans le cas de la molécule H-D. En revanche, l’identité des noyaux n’affecte pas les niveaux de vibration. En effet, les noyaux n’échangent pas leur
position comme dans une rotation : ils sont identiques, mais pas indiscernables. Une autre conséquence importante de la statistique est l’apparition
de forces d’échange, qui sont en particulier responsables du magnétisme. Le magnétisme correspond à l’alignement d’un nombre macroscopique de spins électroniques dans une même direction, et cet