14. Particules identiques
613
que ces états sont appelés respectivement triplet et singulet, d’où la notation
χ t et χ s . Les vecteurs d’état totalement antisymétriques d’un système de deux
fermions sont donc, soit antisymétriques d’espace et symétriques de spin
9
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 ) − u a ( r 2 )u b ( r 1 )
χ t
(14.16)
soit au contraire symétriques d’espace et antisymétriques de spin
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 )+u a ( r 2 )u b ( r 1 )
χ s
(14.17)
Comme application, supposons les deux fermions de spin 1/2 dans un état
de moment angulaire orbital l dans le référentiel de leur centre de masse. La
partie angulaire de la fonction d’onde de la particule relative est l’harmonique
sphérique Y
m
l (ˆ r),o ù r = r 1 − r 2 est le vecteur joignant les positions des deux
fermions. L’échange des numérotations est équivalent à r →− r, soit aussi
ˆ
r →−ˆ r. Or, d’après (9.71), la parité des harmoniques sphériques est (−1)
l
Y
m
l (−ˆ r)=(−1)
l Y
m
l (ˆ r)
(14.18)
Dans le référentiel de leur centre de masse, un système de deux fermions
indentiques de spin 1/2 se trouvera dans un état de moment angulaire orbital
l pair si son état de spin est singulet, et dans un état de moment angulaire
orbital l impair si son état de spin est triplet. On note habituellement S le
spin total, L le moment angulaire orbital total, J le moment angulaire total
et
2S+1
L J l’état des deux fermions. Par exemple, un état
3
P 2 correspond à
S =1 ,L =1 ,J =2et un état
1
D 2 à S =0 ,L =2 ,J =2 . Le cas de deux
bosons indentiques de spin zéro est encore plus simple : seuls les états de
moment angulaire orbital pair sont permis.
Les propriétés de symétrie du vecteur d’état de deux spins 1/2 se généralisent au cas de l’addition de deux spins
S quelconques, pour former un spin
total
F =
S 1 +
S 2 , 0 ≤ F ≤ 2s. La propriété de symétrie des coefficients de
Clebsch-Gordan
10
C
jm
j2j1;m2m1 =(−1)
j1+j2−j C
jm
j1j2;m1m2
montre que les états de spin total 2F, 2F − 2, ... sont symétriques dans
l’échange des numérotations, tandis que les états 2F − 1, 2F − 3, ... sont
9. Pour des états à trois particules et plus, le vecteur d’état n’est pas en général le produit
d’une fonction d’onde d’espace symétrique (ou antisymétrique) par un vecteur d’état de spin
également symétrique (ou antisymétrique). Dans le cas de trois spins 1/2, l’état de spin
total S =3 /2 est complètement symétrique, mais les deux états de spin total S =1/2 sont
partiellement symétriques. Si la fonction d’onde spatiale est partiellement symétrique, on
peut dire d’une certaine façon que le vecteur d’état global devient complètement symétrique
(ou antisymétrique) en ajoutant un nombre quantique de spin.
10. Voir par exemple Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément B X .
613
que ces états sont appelés respectivement triplet et singulet, d’où la notation
χ t et χ s . Les vecteurs d’état totalement antisymétriques d’un système de deux
fermions sont donc, soit antisymétriques d’espace et symétriques de spin
9
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 ) − u a ( r 2 )u b ( r 1 )
χ t
(14.16)
soit au contraire symétriques d’espace et antisymétriques de spin
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 )+u a ( r 2 )u b ( r 1 )
χ s
(14.17)
Comme application, supposons les deux fermions de spin 1/2 dans un état
de moment angulaire orbital l dans le référentiel de leur centre de masse. La
partie angulaire de la fonction d’onde de la particule relative est l’harmonique
sphérique Y
m
l (ˆ r),o ù r = r 1 − r 2 est le vecteur joignant les positions des deux
fermions. L’échange des numérotations est équivalent à r →− r, soit aussi
ˆ
r →−ˆ r. Or, d’après (9.71), la parité des harmoniques sphériques est (−1)
l
Y
m
l (−ˆ r)=(−1)
l Y
m
l (ˆ r)
(14.18)
Dans le référentiel de leur centre de masse, un système de deux fermions
indentiques de spin 1/2 se trouvera dans un état de moment angulaire orbital
l pair si son état de spin est singulet, et dans un état de moment angulaire
orbital l impair si son état de spin est triplet. On note habituellement S le
spin total, L le moment angulaire orbital total, J le moment angulaire total
et
2S+1
L J l’état des deux fermions. Par exemple, un état
3
P 2 correspond à
S =1 ,L =1 ,J =2et un état
1
D 2 à S =0 ,L =2 ,J =2 . Le cas de deux
bosons indentiques de spin zéro est encore plus simple : seuls les états de
moment angulaire orbital pair sont permis.
Les propriétés de symétrie du vecteur d’état de deux spins 1/2 se généralisent au cas de l’addition de deux spins
S quelconques, pour former un spin
total
F =
S 1 +
S 2 , 0 ≤ F ≤ 2s. La propriété de symétrie des coefficients de
Clebsch-Gordan
10
C
jm
j2j1;m2m1 =(−1)
j1+j2−j C
jm
j1j2;m1m2
montre que les états de spin total 2F, 2F − 2, ... sont symétriques dans
l’échange des numérotations, tandis que les états 2F − 1, 2F − 3, ... sont
9. Pour des états à trois particules et plus, le vecteur d’état n’est pas en général le produit
d’une fonction d’onde d’espace symétrique (ou antisymétrique) par un vecteur d’état de spin
également symétrique (ou antisymétrique). Dans le cas de trois spins 1/2, l’état de spin
total S =3 /2 est complètement symétrique, mais les deux états de spin total S =1/2 sont
partiellement symétriques. Si la fonction d’onde spatiale est partiellement symétrique, on
peut dire d’une certaine façon que le vecteur d’état global devient complètement symétrique
(ou antisymétrique) en ajoutant un nombre quantique de spin.
10. Voir par exemple Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément B X .