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Physique quantique : Exercices et applications
14.1.2 Spin et statistique
Dans les équations (14.11) à (14.13), nous avons supposé les particules
sans degré de liberté interne, et en particulier sans spin. Lorsque l’on tient
compte des degrés de liberté internes, l’échange des numérotations doit se
faire sur tous les nombres quantiques caractérisant l’état des particules. En
particulier, on doit effectuer cet échange sur les degrés de liberté de spin. Il est
remarquable que spin et statistique soient intimement reliés par le théorème
spin-statistique, qui énonce que les particules de spin entier (0, , 2, ...) sont
des bosons, tandis que les particules de spin demi-entier (/2, 3/2, ...) sont
des fermions. Ainsi les photons, particules de spin 1, sont des bosons, et les
électrons, neutrinos, protons et neutrons, particules de spin 1/2, sont des
fermions. La preuve du théorème spin-statistique utilise la théorie quantique
relativiste, ou théorie des champs quantifiés relativistes, mais elle nécessite un
arsenal mathématique important et la maîtrise de concepts difficiles ; il n’est
malheureusement pas possible d’en donner ici une idée intuitive, même si un
début de preuve est esquissé au § 19.5.3. Il est frustrant de constater qu’il
n’existe aucun argument élémentaire justifiant ce résultat fondamental, dont
l’énoncé est pourtant tout à fait simple
8 .
Après cet énoncé fondamental, revenons sur les vecteurs d’état (14.11)
et (14.12). Comme nous venons de le voir, des bosons de spin zéro peuvent
parfaitement exister (mésons π,a t o m e sd ’
4 He, ...) et un vecteur d’état du
type (14.11) représente sans problème l’état d’un système de deux bosons de
spin zéro. En revanche, pour un système de deux fermions, le spin ne peut
être nul et on doit en tenir compte dans l’écriture du vecteurd ’ é t a t .L ec a s
le plus courant et le plus important en pratique est celui des fermions de
spin 1/2 : électrons, protons, neutrons, ... Suivant les résultats du § 9.6.1, on
peut former avec deux spins 1/2, soit un moment angulaire un, dont les trois
vecteurs de base |jm, notés collectivement χ t ,s o n t
|1, 1
= | + 1 ⊗+ 2
|1, 0
=
1
√
2
| + 1 ⊗− 2 + |− 1 ⊗+ 2
(14.14)
|1, −1 = |− 1 ⊗− 2
soit un moment angulaire zéro
χ s = |0, 0 =
1
√
2
| + 1 ⊗− 2 −|− 1 ⊗+ 2
(14.15)
Il est évident sur (14.14) et (14.15) que les trois états χ t sont symétriques dans
l’échange 1 ↔ 2 et χ s est antisymétrique dans ce même échange. Rappelons
8. On peut faire le rapprochement avec l’énoncé très élémentaire du théorème de Fermat
et la complexité de la preuve d’A. Wiles. Pour une tentative intéressante (mais pas entièrement concluante) de donner une démonstration élémentaire du théorème spin-statistique,
voir Berry et Robbins [1997]. Un résultat partiel est donné au § 19.5.3.
Physique quantique : Exercices et applications
14.1.2 Spin et statistique
Dans les équations (14.11) à (14.13), nous avons supposé les particules
sans degré de liberté interne, et en particulier sans spin. Lorsque l’on tient
compte des degrés de liberté internes, l’échange des numérotations doit se
faire sur tous les nombres quantiques caractérisant l’état des particules. En
particulier, on doit effectuer cet échange sur les degrés de liberté de spin. Il est
remarquable que spin et statistique soient intimement reliés par le théorème
spin-statistique, qui énonce que les particules de spin entier (0, , 2, ...) sont
des bosons, tandis que les particules de spin demi-entier (/2, 3/2, ...) sont
des fermions. Ainsi les photons, particules de spin 1, sont des bosons, et les
électrons, neutrinos, protons et neutrons, particules de spin 1/2, sont des
fermions. La preuve du théorème spin-statistique utilise la théorie quantique
relativiste, ou théorie des champs quantifiés relativistes, mais elle nécessite un
arsenal mathématique important et la maîtrise de concepts difficiles ; il n’est
malheureusement pas possible d’en donner ici une idée intuitive, même si un
début de preuve est esquissé au § 19.5.3. Il est frustrant de constater qu’il
n’existe aucun argument élémentaire justifiant ce résultat fondamental, dont
l’énoncé est pourtant tout à fait simple
8 .
Après cet énoncé fondamental, revenons sur les vecteurs d’état (14.11)
et (14.12). Comme nous venons de le voir, des bosons de spin zéro peuvent
parfaitement exister (mésons π,a t o m e sd ’
4 He, ...) et un vecteur d’état du
type (14.11) représente sans problème l’état d’un système de deux bosons de
spin zéro. En revanche, pour un système de deux fermions, le spin ne peut
être nul et on doit en tenir compte dans l’écriture du vecteurd ’ é t a t .L ec a s
le plus courant et le plus important en pratique est celui des fermions de
spin 1/2 : électrons, protons, neutrons, ... Suivant les résultats du § 9.6.1, on
peut former avec deux spins 1/2, soit un moment angulaire un, dont les trois
vecteurs de base |jm, notés collectivement χ t ,s o n t
|1, 1
= | + 1 ⊗+ 2
|1, 0
=
1
√
2
| + 1 ⊗− 2 + |− 1 ⊗+ 2
(14.14)
|1, −1 = |− 1 ⊗− 2
soit un moment angulaire zéro
χ s = |0, 0 =
1
√
2
| + 1 ⊗− 2 −|− 1 ⊗+ 2
(14.15)
Il est évident sur (14.14) et (14.15) que les trois états χ t sont symétriques dans
l’échange 1 ↔ 2 et χ s est antisymétrique dans ce même échange. Rappelons
8. On peut faire le rapprochement avec l’énoncé très élémentaire du théorème de Fermat
et la complexité de la preuve d’A. Wiles. Pour une tentative intéressante (mais pas entièrement concluante) de donner une démonstration élémentaire du théorème spin-statistique,
voir Berry et Robbins [1997]. Un résultat partiel est donné au § 19.5.3.