14. Particules identiques
611
L’unitarité de U P se déduit de U
2
P = I.S o i t|Ψ le vecteur d’état des trois
particules identiques. L’identité des particules implique que la valeur moyenne
de A vérifie
Ψ|A(1, 2, 3)|Ψ = Ψ|A(P 1,P2,P3)|Ψ
Pour un système de trois particules identiques, cette égalité est vérifiée non
seulement par les états complètement symétriques ou antisymétriques, mais
aussi par les états partiellement symétriques
6 . Pour éliminer ces états partiellement symétriques qui ne semblent pas exister dans la nature, nous sommes
conduits à énoncer un postulat supplémentaire
7 de la mécanique quantique.
Postulat de symétrisation. Le vecteur d’état d’un système de N particules
identiques est, soit symétrique dans l’échange de la numérotation deux quelconques des particules dans le cas de bosons, soit antisymétrique dans le cas
de fermions.
Le postulat de symétrisation entraîne que la fonction d’onde de N bosons (fermions) doit être symétrique (antisymétrique) dans l’échange de deux
quelconques des numérotations de deux particules. Dans le cas des fermions,
la fonction d’onde s’écrit donc comme un déterminant, appelé déterminant de
Slater. Écrivons-le explicitement pour trois fermions identiques indépendants
r 1 ,, r 2 ,, r 3 |a ⊗ b ⊗ c F =
1
√
3!
u a ( r 1 ) u a ( r 2 ) u a ( r 3 )
u b ( r 1 ) u b ( r 2 ) u b ( r 3 )
u c ( r 1 ) u c ( r 2 ) u c ( r 3 )
(14.13)
Dans ce cas, si par exemple u a = u b , la fonction d’onde s’annule. Ceci est
appelé principe de Pauli, bien que ce “principe” découle en fait de l’antisymétrisation. On énonce souvent ce principe sous la forme : il est impossible
de mettre deux fermions ou plus dans le même état. La signification de cet
énoncé est évidente si les fermions sont indépendants. S’ils ne le sont pas, il
implique que les fonctions d’onde admissibles sont des combinaisons linéaires
de déterminants de Slater.
6. En fait, les sous-espaces invariants forment des “rayons généralisés”, et tous les vecteurs
d’un tel sous-espace sont physiquement équivalents. En effet, d’après le lemme de Schur, les
opérateurs invariants sous les permutations sont des multiples de l’identité dans les sousespaces invariants, et leur valeur moyenne dans ces sous-espaces est indépendante du choix
du représentant du “rayon généralisé”. En particulier, l’évolution temporelle conserve les
sous-espaces invariants car le hamiltonien est invariant sous toute permutation : voir Messiah et Greenberg [1964]. En fait, s’il existait des particules identiques dont les états soient
partiellement symétriques, on pourrait les transformer en bosons ou fermions en ajoutant
des nombres quantiques supplémentaires, voir la note 8 et l’exercice 14.5.1 : l’adjonction de
la couleur permet aux quarks d’être des fermions.
7. Toutefois, Peres [1993], chapitre 5, montre que les “parastatistiques” se heurtent à de
sérieuses difficultés d’interprétation physique, ce qui justifie le postulat de symétrisation.
On peut aussi invoquer l’argument topologique mentionné ci-dessus pour se restreindre au
cas des fermions et des bosons.
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L’unitarité de U P se déduit de U
2
P = I.S o i t|Ψ le vecteur d’état des trois
particules identiques. L’identité des particules implique que la valeur moyenne
de A vérifie
Ψ|A(1, 2, 3)|Ψ = Ψ|A(P 1,P2,P3)|Ψ
Pour un système de trois particules identiques, cette égalité est vérifiée non
seulement par les états complètement symétriques ou antisymétriques, mais
aussi par les états partiellement symétriques
6 . Pour éliminer ces états partiellement symétriques qui ne semblent pas exister dans la nature, nous sommes
conduits à énoncer un postulat supplémentaire
7 de la mécanique quantique.
Postulat de symétrisation. Le vecteur d’état d’un système de N particules
identiques est, soit symétrique dans l’échange de la numérotation deux quelconques des particules dans le cas de bosons, soit antisymétrique dans le cas
de fermions.
Le postulat de symétrisation entraîne que la fonction d’onde de N bosons (fermions) doit être symétrique (antisymétrique) dans l’échange de deux
quelconques des numérotations de deux particules. Dans le cas des fermions,
la fonction d’onde s’écrit donc comme un déterminant, appelé déterminant de
Slater. Écrivons-le explicitement pour trois fermions identiques indépendants
r 1 ,, r 2 ,, r 3 |a ⊗ b ⊗ c F =
1
√
3!
u a ( r 1 ) u a ( r 2 ) u a ( r 3 )
u b ( r 1 ) u b ( r 2 ) u b ( r 3 )
u c ( r 1 ) u c ( r 2 ) u c ( r 3 )
(14.13)
Dans ce cas, si par exemple u a = u b , la fonction d’onde s’annule. Ceci est
appelé principe de Pauli, bien que ce “principe” découle en fait de l’antisymétrisation. On énonce souvent ce principe sous la forme : il est impossible
de mettre deux fermions ou plus dans le même état. La signification de cet
énoncé est évidente si les fermions sont indépendants. S’ils ne le sont pas, il
implique que les fonctions d’onde admissibles sont des combinaisons linéaires
de déterminants de Slater.
6. En fait, les sous-espaces invariants forment des “rayons généralisés”, et tous les vecteurs
d’un tel sous-espace sont physiquement équivalents. En effet, d’après le lemme de Schur, les
opérateurs invariants sous les permutations sont des multiples de l’identité dans les sousespaces invariants, et leur valeur moyenne dans ces sous-espaces est indépendante du choix
du représentant du “rayon généralisé”. En particulier, l’évolution temporelle conserve les
sous-espaces invariants car le hamiltonien est invariant sous toute permutation : voir Messiah et Greenberg [1964]. En fait, s’il existait des particules identiques dont les états soient
partiellement symétriques, on pourrait les transformer en bosons ou fermions en ajoutant
des nombres quantiques supplémentaires, voir la note 8 et l’exercice 14.5.1 : l’adjonction de
la couleur permet aux quarks d’être des fermions.
7. Toutefois, Peres [1993], chapitre 5, montre que les “parastatistiques” se heurtent à de
sérieuses difficultés d’interprétation physique, ce qui justifie le postulat de symétrisation.
On peut aussi invoquer l’argument topologique mentionné ci-dessus pour se restreindre au
cas des fermions et des bosons.