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Physique quantique : Exercices et applications
fonction d’onde, ne sont pas de simples produits tensoriels : l’espace des états
pour un couple de particules identiques n’est pas l’intégralité de H
(1) ⊗H
(2) ,
mais seulement le sous-espace formé des vecteurs symétriques dans un échange
des numérotations s’il s’agit de deux bosons, et antisymétriques s’il s’agit de
deux fermions. Ces deux espaces sont invariants par l’évolution temporelle,
car le hamiltonien doit être invariant dans l’échange 1 ↔ 2 : [H, P 12 ]=0,o ù
P 12 est l’opérateur de permutation des numérotations.
Le raisonnement que nous avons suivi pour deux particules et qui nous a
permis de distinguer le cas symétrique et le cas antisymétrique ne se généralise
pas à trois particules et plus, car l’identité des particules n’entraîne plus automatiquement la symétrie ou l’antisymétrie du vecteur d’état. Considérons le
cas de trois particules identiques et appelons P une permutation des indices
1, 2 et 3
(1, 2, 3)
P
− → (P 1,P2,P3)
par exemple, la permutation qui échange 1 et 3 (transposition)
(1, 2, 3)
P13
− − → (3, 2, 1)
Ces permutations peuvent être représentées par des matrices dans un espace
à six dimensions. Les 6 permutations possibles sont la permutation identité
(I), les 3 permutations de deux indices P ij , ou transpositions, la permutation
circulaire P 123 et son carré P
2
123 . Comme ces permutations ne commutent pas
toutes entre elles, par exemple P 12 P 23 = P 23 P 12 , les seuls vecteurs propres
communs aux six permutations sont complètement symétriques ou complètement antisymétriques. En fait, il existe 4 sous-espaces invariants
5 .
• Un espace à une dimension symétrique dans toute transposition, soustendu par un vecteur propre commun aux six permutations.
• Un espace à une dimension antisymétrique dans toute transposition,
sous-tendu par l’autre vecteur propre commun aux six permutations.
• Deux espaces invariants à deux dimensions partiellement symétriques.
Le raisonnement suivi pour deux particules repose sur le fait que les deux
sous-espaces invariants sont à une seule dimension
P 12 |a ⊗ b = ±|b ⊗ a
Au-delà de trois particules, la seule conclusion que l’on peut tirer de l’identité
des particules est qu’aucun résultat physique ne doit être modifié quand on
permute les numérotations des particules de l’ensemble. Considérons donc
une propriété physique A(1, 2, 3) et un opérateur unitaire U P qui représente
l’action de la permutation dans l’espace de Hilbert des états
U P A(1, 2, 3)U
−1
P = A(P 1,P2,P3)
5. La construction explicite de ces quatre sous-espaces est donnée dans Ballentine [1998],
chapitre 17 ou Peres [1993], chapitre 5.
Physique quantique : Exercices et applications
fonction d’onde, ne sont pas de simples produits tensoriels : l’espace des états
pour un couple de particules identiques n’est pas l’intégralité de H
(1) ⊗H
(2) ,
mais seulement le sous-espace formé des vecteurs symétriques dans un échange
des numérotations s’il s’agit de deux bosons, et antisymétriques s’il s’agit de
deux fermions. Ces deux espaces sont invariants par l’évolution temporelle,
car le hamiltonien doit être invariant dans l’échange 1 ↔ 2 : [H, P 12 ]=0,o ù
P 12 est l’opérateur de permutation des numérotations.
Le raisonnement que nous avons suivi pour deux particules et qui nous a
permis de distinguer le cas symétrique et le cas antisymétrique ne se généralise
pas à trois particules et plus, car l’identité des particules n’entraîne plus automatiquement la symétrie ou l’antisymétrie du vecteur d’état. Considérons le
cas de trois particules identiques et appelons P une permutation des indices
1, 2 et 3
(1, 2, 3)
P
− → (P 1,P2,P3)
par exemple, la permutation qui échange 1 et 3 (transposition)
(1, 2, 3)
P13
− − → (3, 2, 1)
Ces permutations peuvent être représentées par des matrices dans un espace
à six dimensions. Les 6 permutations possibles sont la permutation identité
(I), les 3 permutations de deux indices P ij , ou transpositions, la permutation
circulaire P 123 et son carré P
2
123 . Comme ces permutations ne commutent pas
toutes entre elles, par exemple P 12 P 23 = P 23 P 12 , les seuls vecteurs propres
communs aux six permutations sont complètement symétriques ou complètement antisymétriques. En fait, il existe 4 sous-espaces invariants
5 .
• Un espace à une dimension symétrique dans toute transposition, soustendu par un vecteur propre commun aux six permutations.
• Un espace à une dimension antisymétrique dans toute transposition,
sous-tendu par l’autre vecteur propre commun aux six permutations.
• Deux espaces invariants à deux dimensions partiellement symétriques.
Le raisonnement suivi pour deux particules repose sur le fait que les deux
sous-espaces invariants sont à une seule dimension
P 12 |a ⊗ b = ±|b ⊗ a
Au-delà de trois particules, la seule conclusion que l’on peut tirer de l’identité
des particules est qu’aucun résultat physique ne doit être modifié quand on
permute les numérotations des particules de l’ensemble. Considérons donc
une propriété physique A(1, 2, 3) et un opérateur unitaire U P qui représente
l’action de la permutation dans l’espace de Hilbert des états
U P A(1, 2, 3)U
−1
P = A(P 1,P2,P3)
5. La construction explicite de ces quatre sous-espaces est donnée dans Ballentine [1998],
chapitre 17 ou Peres [1993], chapitre 5.