14. Particules identiques
609
Le caractère bosonique ou fermionique d’une espèce de particules est appelé
sa statistique. Ainsi que nous allons le voir dans un instant, les électrons
sont un exemple de fermions, et on dit aussi que les électrons obéissent à la
s t a t i s t i q u ed eF e r m i( o uF e r m i - D i r a c ) , tandis que les photons, qui sont des
bosons, obéissent à la statistique de Bose (ou Bose-Einstein).
L’opération qui consiste à échanger les numérotations est une transformation passive (§ 7.1.1). On peut aussi échanger les états a et b en déplaçant
les particules dans l’espace, ce qui est une transformation active. Dans cette
transformation active, le déplacement peut engendrer une phase non triviale
pour des raisons topologiques, ainsi que nous l’avons vu dans la section 12.6.
On montre (voir par exemple Comtet et al. [1992]) que, dans cet échange,
le facteur de phase ne peut être que ±1 dans un espace à trois dimensions.
Si l’on associe l’indiscernabilité à l’impossibilité de suivre les particules dans
leur mouvement dans l’espace, alors il ne peut exister que des bosons ou des
fermions. Cependant, à deux dimensions, des facteurs de phase différents de
±1 sont autorisés, ce qui entraîne l’existence de “statistiques fractionnaires”
et de particules appelées anyons, qui ne sont ni des fermions, ni des bosons.
Nous avons déjà remarqué qu’il est commode de numéroter artificiellement les particules : 1, 2, ... La relation (14.7) implique alors que le vecteur
d’état d’un système de deux bosons doit être symétrique dans un échange des
numérotations 1 ↔ 2
|a ⊗ b B =
1
√
2
|a 1 ⊗ b 2 + |a 2 ⊗ b 1
(14.9)
et (14.8) que celui de deux fermions doit être antisymétrique
|a ⊗ b F =
1
√
2
|a 1 ⊗ b 2 −|a 2 ⊗ b 1
(14.10)
L’échange a ↔ b est bien sûr équivalent à celui des numérotations 1 ↔ 2.
Si les particules n’ont pas de degrés de liberté internes (spin, etc.), l’état des
particules peut être caractérisé par leur fonction d’onde u a ( r )= r |a et
u b ( r )= r |b, et la fonction d’onde du système est dans le cas de bosons
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b B =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 )+u a ( r 2 )u b ( r 1 )
(14.11)
et dans le cas de fermions
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 ) − u a ( r 2 )u b ( r 1 )
(14.12)
Nous venons d’écrire le vecteur d’état, ou la fonction d’onde, de deux particules identiques sans spin indépendantes. En présence d’interactions, la fonction d’onde sera une combinaison linéaire de fonctions d’onde du type (14.11)
ou (14.12), mais même en l’absence d’interactions, le vecteur d’état, ou la
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Le caractère bosonique ou fermionique d’une espèce de particules est appelé
sa statistique. Ainsi que nous allons le voir dans un instant, les électrons
sont un exemple de fermions, et on dit aussi que les électrons obéissent à la
s t a t i s t i q u ed eF e r m i( o uF e r m i - D i r a c ) , tandis que les photons, qui sont des
bosons, obéissent à la statistique de Bose (ou Bose-Einstein).
L’opération qui consiste à échanger les numérotations est une transformation passive (§ 7.1.1). On peut aussi échanger les états a et b en déplaçant
les particules dans l’espace, ce qui est une transformation active. Dans cette
transformation active, le déplacement peut engendrer une phase non triviale
pour des raisons topologiques, ainsi que nous l’avons vu dans la section 12.6.
On montre (voir par exemple Comtet et al. [1992]) que, dans cet échange,
le facteur de phase ne peut être que ±1 dans un espace à trois dimensions.
Si l’on associe l’indiscernabilité à l’impossibilité de suivre les particules dans
leur mouvement dans l’espace, alors il ne peut exister que des bosons ou des
fermions. Cependant, à deux dimensions, des facteurs de phase différents de
±1 sont autorisés, ce qui entraîne l’existence de “statistiques fractionnaires”
et de particules appelées anyons, qui ne sont ni des fermions, ni des bosons.
Nous avons déjà remarqué qu’il est commode de numéroter artificiellement les particules : 1, 2, ... La relation (14.7) implique alors que le vecteur
d’état d’un système de deux bosons doit être symétrique dans un échange des
numérotations 1 ↔ 2
|a ⊗ b B =
1
√
2
|a 1 ⊗ b 2 + |a 2 ⊗ b 1
(14.9)
et (14.8) que celui de deux fermions doit être antisymétrique
|a ⊗ b F =
1
√
2
|a 1 ⊗ b 2 −|a 2 ⊗ b 1
(14.10)
L’échange a ↔ b est bien sûr équivalent à celui des numérotations 1 ↔ 2.
Si les particules n’ont pas de degrés de liberté internes (spin, etc.), l’état des
particules peut être caractérisé par leur fonction d’onde u a ( r )= r |a et
u b ( r )= r |b, et la fonction d’onde du système est dans le cas de bosons
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b B =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 )+u a ( r 2 )u b ( r 1 )
(14.11)
et dans le cas de fermions
r 1 ,, r 2 |a ⊗ b F =
1
√
2
u a ( r 1 )u b ( r 2 ) − u a ( r 2 )u b ( r 1 )
(14.12)
Nous venons d’écrire le vecteur d’état, ou la fonction d’onde, de deux particules identiques sans spin indépendantes. En présence d’interactions, la fonction d’onde sera une combinaison linéaire de fonctions d’onde du type (14.11)
ou (14.12), mais même en l’absence d’interactions, le vecteur d’état, ou la