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Physique quantique : Exercices et applications
car d’après (14.3),
e
i(θ ab +θ ba )/2 = ±1
On peut donc toujours choisir les phases des vecteurs |a ⊗ b et |b ⊗ a de
telle sorte que ces vecteurs soient symétriques ou antisymétriques dans la
permutation a ↔ b
• sym´ etrique
|a ⊗ b =+ |b ⊗ a
(14.5)
• antisym´ etrique |a ⊗ b = −|b ⊗ a
(14.6)
Il en résulte que les amplitudes a ⊗ b|Ψ sont aussi, soit symétriques, soit
antisymétriques
• sym´ etrique
a ⊗ b|Ψ =
b ⊗ a|Ψ
(14.7)
• antisym´ etrique a ⊗ b|Ψ = −−b ⊗ a|Ψ
(14.8)
Cette propriété de symétrie ou d’antisymétrie est caractéristique du couple
de particules identiques considérées. Elle ne peut pas dépendre des états |Ψ
ou |a ⊗ b. Supposons, en effet, que pour le même couple de particules on ait
une amplitude symétrique si |Ψ = |Φ 1 et une amplitude antisymétrique si
|Ψ = |Φ 2
a ⊗ b|Φ 1 =
b ⊗ a|Φ 1
a ⊗ b|Φ 2 = −b ⊗ a|Φ 2
La linéarité de la mécanique quantique nous permet aussi de choisir un état
combinaison linéaire de |Φ 1 et de |Φ 2
|Ψ = |Φ 1 Φ 1 |Ψ + |Φ 2 Φ 2 |Ψ
où l’on a supposé Φ 1 |Φ 2 =0.O na u r a i ta l o r s
a ⊗ b|Ψ = a ⊗ b|Φ 1 Φ 1 |Ψ + a ⊗ b|Φ 2 Φ 2 |Ψ
Cette amplitude de probabilité n’est ni symétrique, ni antisymétrique dans
l’échange a ↔ b et elle est physiquement inacceptable. Il est nécessaire que
Φ 1 |Ψ =0 ,o uq u eΦ 2 |Ψ =0 ,p o u rtous les états |Ψ.S iΦ 2 |Ψ =0 ,l e s
transitions Ψ → Φ 2 sont interdites et |Φ 2 n’appartient pas à l’espace des
états à deux particules. Il existe seulement deux possibilités pour le comportement dans l’échange de deux états, a ↔ b, correspondant à deux types
d’amplitudes :
• les amplitudes symétriques (14.7) : les particules sont alors appelées des
bosons ;
• les amplitudes antisymétriques (14.8) : les particules sont alors appelées
des fermions.