14. Particules identiques
607
une impulsion p
′ (figure 14.1a), ce qui permet d’effectuer un test |a 1 ⊗ b 2 sur
l’état |Ψ. La probabilité pour que l’état |Ψ passe le test |a 1 ⊗ b 2 est
p Ψ→[a1,b2] = |a 1 ⊗ b 2 |Ψ|
2
(14.1)
On peut aussi envisager la configuration inverse et mesurer la probabilité que
le détecteur D 1 enregistre l’atome de
18 OetD 2 l’atome de
16 O (figure 14.1b),
qui est différente de (14.1a) : cette probabilité correspond au test |a 2 ⊗ b 1 ,
où l’atome de
18 O a une impulsion
p et l’atome de
16 O une impulsion
p
′ ,e t
sauf cas particulier
p Ψ→[a2,b1] = p Ψ→[a1,b2]
Supposons maintenant les particules 1 et 2 identiques, deux atomes de
16 O,
par exemple. Comme il n’est pas possible de les suivre dans la collision, elles
sont non seulement identiques, mais aussi indiscernables. Si les énergies mises
en jeu dans l’interaction entre les deux particules sont de quelques eV, rien
ne distingue a priori ce cas du cas précédent, car les interactions
16 O18 Oe t
16 O16 O sont strictement identiques. Ce n’est qu’à des énergies de l’ordre du
MeV que des différences dues aux noyaux pourraient se faire sentir, et pourtant
les deux cas vont différer de façon radicale, même à basse énergie. Lorsque les
deux particules sont identiques, cela n’a plus de sens de parler du test |a 1 ⊗b 2 :
il peut être commode de numéroter formellement les deux particules, et donc
de parler des tests |a 1 ⊗b 2 ou |a 2 ⊗b 1 , mais une telle numérotation n’a pas de
signification physique. Il n’est pas physiquement acceptable d’écrire un état
de la forme |a 1 ⊗b 2 (sauf éventuellement si a ≡ b), car on ne peut pas affirmer
que la particule 1 est dans l’état a et la particule 2 dans l’état b ou l’inverse,
étant donné que l’on ne peut pas les distinguer. Le problème se pose donc de la
définition correcte de l’état |a ⊗ b. Cet état doit être physiquement identique
à |b ⊗ a et ne peut en différer que par une phase, qui dépend éventuellement
de a et de b
|a ⊗ b = e
iθ ab |b ⊗ a
|b ⊗ a = e
iθ ba |a ⊗ b
(14.2)
On en déduit
4
e
iθ ba e
iθ ab =1
(14.3)
Définissons les nouveaux vecteurs
|a ⊗ b
′ = e
iθ ab /2 |a ⊗ b
|b ⊗ a
′ = e
iθ ba /2 |b ⊗ a
(14.4)
Nous avons au lieu de (14.2)
|b ⊗ a
′
= e
−iθ ba /2 |b ⊗ a = e
iθ ba /2 |a ⊗ b
= e
i(θ ab +θ ba )/2 |a ⊗ b
′ = ±|a ⊗ b
′
4. Si l’on admet que θ ab est indépendant de a et b : θ ab = θ ba = θ,e ti le nd é c o u l e
directement exp(2iθ)=1, exp(iθ)=±1.
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une impulsion p
′ (figure 14.1a), ce qui permet d’effectuer un test |a 1 ⊗ b 2 sur
l’état |Ψ. La probabilité pour que l’état |Ψ passe le test |a 1 ⊗ b 2 est
p Ψ→[a1,b2] = |a 1 ⊗ b 2 |Ψ|
2
(14.1)
On peut aussi envisager la configuration inverse et mesurer la probabilité que
le détecteur D 1 enregistre l’atome de
18 OetD 2 l’atome de
16 O (figure 14.1b),
qui est différente de (14.1a) : cette probabilité correspond au test |a 2 ⊗ b 1 ,
où l’atome de
18 O a une impulsion
p et l’atome de
16 O une impulsion
p
′ ,e t
sauf cas particulier
p Ψ→[a2,b1] = p Ψ→[a1,b2]
Supposons maintenant les particules 1 et 2 identiques, deux atomes de
16 O,
par exemple. Comme il n’est pas possible de les suivre dans la collision, elles
sont non seulement identiques, mais aussi indiscernables. Si les énergies mises
en jeu dans l’interaction entre les deux particules sont de quelques eV, rien
ne distingue a priori ce cas du cas précédent, car les interactions
16 O18 Oe t
16 O16 O sont strictement identiques. Ce n’est qu’à des énergies de l’ordre du
MeV que des différences dues aux noyaux pourraient se faire sentir, et pourtant
les deux cas vont différer de façon radicale, même à basse énergie. Lorsque les
deux particules sont identiques, cela n’a plus de sens de parler du test |a 1 ⊗b 2 :
il peut être commode de numéroter formellement les deux particules, et donc
de parler des tests |a 1 ⊗b 2 ou |a 2 ⊗b 1 , mais une telle numérotation n’a pas de
signification physique. Il n’est pas physiquement acceptable d’écrire un état
de la forme |a 1 ⊗b 2 (sauf éventuellement si a ≡ b), car on ne peut pas affirmer
que la particule 1 est dans l’état a et la particule 2 dans l’état b ou l’inverse,
étant donné que l’on ne peut pas les distinguer. Le problème se pose donc de la
définition correcte de l’état |a ⊗ b. Cet état doit être physiquement identique
à |b ⊗ a et ne peut en différer que par une phase, qui dépend éventuellement
de a et de b
|a ⊗ b = e
iθ ab |b ⊗ a
|b ⊗ a = e
iθ ba |a ⊗ b
(14.2)
On en déduit
4
e
iθ ba e
iθ ab =1
(14.3)
Définissons les nouveaux vecteurs
|a ⊗ b
′ = e
iθ ab /2 |a ⊗ b
|b ⊗ a
′ = e
iθ ba /2 |b ⊗ a
(14.4)
Nous avons au lieu de (14.2)
|b ⊗ a
′
= e
−iθ ba /2 |b ⊗ a = e
iθ ba /2 |a ⊗ b
= e
i(θ ab +θ ba )/2 |a ⊗ b
′ = ±|a ⊗ b
′
4. Si l’on admet que θ ab est indépendant de a et b : θ ab = θ ba = θ,e ti le nd é c o u l e
directement exp(2iθ)=1, exp(iθ)=±1.