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Physique quantique : Exercices et applications
on utilise le comportement asymptotique de ψ k = ψ
(+)
k
et ψ
∗
k ′ =[ψ
(+)
k ′ ]
∗
ψ k ( r) ≃
r→∞
e
i k· r + f ( k r , k)
e
ikr
r
ψ
∗
k ′ ( r) ≃
r→∞
e
−i k
′ · r + f
∗ ( k r , k
′ )
e
−ikr
r
avec k r = kˆ r. On doit calculer
W
e
−i k
′ · r + f
∗ ( k r , k
′ )
e
−ikr
r
, e
i k· r + f ( k r , k)
e
ikr
r
Utiliser la forme asymptotique (13.67) de exp(i k · r) pour montrer que
W
f
∗ ( k r , k
′ )
e
−ikr
r
, e
i k· r
=4πf
∗ ( k, k
′ )
W
e
−i k
′ · r ,f( k r , k)
e
ikr
r
= −4πf( k
′ , k)
W
f
∗ ( k r , k
′ )
e
−ikr
r
,f( k r , k)
e
ikr
r
=2ik
f
∗ ( k r , k
′ )f ( k r , k)dΩ r
En déduire (13.58).
3. Généralisation. On se place maintenant dans le cas des collisions inélastiques avec des voies α, β, ... et des potentiels V α , V β ... réels
Ψ
(+)
a
≃
r→∞
ϕ α
e
i ka· r + f αa (Ω α )
e
ikar
r
≃
r→∞
ϕ γ f γa (Ω γ )
e
ikcr
r
γ = α
Ψ
(+)
b
≃
r→∞
ϕ β
e
i k b · r + f βb (Ω β )
e
ik b r
r
≃
r→∞
ϕ γ f γb (Ω γ )
e
ikcr
r
γ = β
Montrer que
ν=α,β,γ...
W ν
[Ψ
(+)
b ]
∗ , Ψ
(+)
a
=0
et en déduire à partir du comportement asymptotique de Ψ
(+)
a
et Ψ
(+)
b
la
relation
2π
2
m β
f βa (Ω β ) −
2π
2
m α
f
∗
αb (Ω α )=
ν
i
2 k ν
m ν
f
∗
νb (Ω ν ) f νa (Ω ν )dΩ ν