13. Théorie de la diffusion
601
13.6.7 Non hermiticité de H 0
1. On se propose de montrer que le hamiltonien libre H 0 pris entre une
onde plane ϕ b et une onde sphérique sortante ψ
(+)
a
n’est pas hermitien. Montrer que
∆=
ϕ b ,H 0 ψ
(+)
a
−
H 0 ϕ b ,Vψ
(+)
a
=(E a − E b )
ϕ b ,ψ
(+)
a
−
ϕ b ,Vψ
(+)
a
Si H 0 était hermitien, on aurait ∆=0. Mais ce n’est pas le cas car ϕ b et ψ
(+)
a
ne décroissent pas assez vite à l’infini. Si E a = E b ,m o n t r e rq u e
∆=−
ϕ b ,Vψ
(+)
a
= −T ba
et que ∆=0si E a = E b . Le problème de l’hermiticité de VH 0 par exemple
ne se pose pas, car la décroissance rapide de V pour r →∞assure cette
hermiticité.
2. Montrer que pour des fonctions arbitraires χ a et χ b
(χ b ,H 0 χ a ) − (H 0 χ b ,χ a )=−
2
2m
W (χ
∗
b ,χ a )
(voir (13.129)). Retrouver les résultats de 1 en posant χ a = ψ
(+)
a
et χ b = ϕ b
et en utilisant les formes asymptotiques.
13.6.8 Unitarité et théorème optique
1. On se propose de montrer la relation d’unitarité (13.58) en suivant le
canevas de la démonstration donnée au § 13.4.2. Soit ψ k et ψ k ′ deux solutions
de l’équation de Schrödinger d’énergie E =
2 k
2 /2m =
2 k
′ 2 /2m avec un
potentiel qui peut être complexe V ( r)
(∇
2 + k
2 )ψ k ( r)=
2m
2 V ( r)ψ k ( r)
(∇
2 + k
2 )ψ
∗
k ′ ( r)=
2m
2 V
∗ ( r)ψ
∗
k ′ ( r)
En multipliant la première équation par ψ
∗
k ′ et la seconde par ψ k , déduire
ψ
∗
k ′ ∇
2 ψ k − ψ k ∇
2 ψ
∗
k ′ =
4im
2 Im V ( r)ψ k ψ
∗
k ′
2. Pour évaluer
W (ψ
∗
k ′ ,ψ k ) = lim
R→∞
ψ
∗
k ′
∂ψ k
∂r
− ψ k
∂ψ
∗
k ′
∂r
R
2 dΩ r