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Physique quantique : Exercices et applications
|M fi |
2 représente la somme sur les spins finaux et la moyenne sur les spins
initiaux de l’élément de matrice de spin. Pour obtenir la vie moyenne τ =1/Γ,
il faut intégrer sur E. L’intégrale
I(E 0 )=
E0
mec 2
dEE(E 0 − E)
2
E 2 − m 2
e c 2
peut se calculer exactement, mais nous nous contenterons d’une approximation ultrarelativiste négligeant la masse de l’électron
I(E 0 ) ≃
E0
0
dEE
2 (E 0 − E)
2 =
E
5
0
30
En déduire l’expression de la vie moyenne
1
τ
=Γ∼
G
2
F E
5
0
60π 3 (c) 6
Quelle est la dimension de G F /(c)
3 ?E st im erG F à partir de la vie moyenne
τ ≃ 880 s et comparer avec la valeur précise
G F
(c) 3 =1.17 × 10
−5 GeV
−2
2. Montrer que la section efficace différentielle d’absorption des neutrinos
par les neutrons est donnée par
dσ
dΩ
=
2π
c
G
2
F |M fi |
2
Ep
(2π) 3 c 2
où E est l’énergie du positron e
+ et en déduire
σ tot ∼
1
π
G F
(c) 3
2
(c)
2 E
2
Vérifier que σ tot a bien les dimensions d’une surface. Estimer numériquement
σ tot pour des neutrinos solaires de 8 MeV, et en déduire que le libre parcours
moyen des neutrinos solaires dans la Terre se mesure en années-lumière.
3. La théorie de Fermi utilisée dans cet exercice donne une section efficace isotrope : l’interaction a lieu uniquement dans l’onde s, l =0 .E n
utilisant (13.51), montrer que le résultat obtenu pour la section efficace d’absorption ne peut pas être valable à très haute énergie et estimer l’énergie
au-delà de laquelle la théorie de Fermi doit être modifiée. Cette modification
est connue, c’est la théorie électro-faible de Glashow-Salam-Weinberg, composante du modèle standard qui unifie interactions faibles et électromagnétiques,
et où la constante de Fermi est reliée à la charge de l’électron et à la masse
des bosons W
± et Z
0 : G F ∼ e
2 /M
2
W .
Physique quantique : Exercices et applications
|M fi |
2 représente la somme sur les spins finaux et la moyenne sur les spins
initiaux de l’élément de matrice de spin. Pour obtenir la vie moyenne τ =1/Γ,
il faut intégrer sur E. L’intégrale
I(E 0 )=
E0
mec 2
dEE(E 0 − E)
2
E 2 − m 2
e c 2
peut se calculer exactement, mais nous nous contenterons d’une approximation ultrarelativiste négligeant la masse de l’électron
I(E 0 ) ≃
E0
0
dEE
2 (E 0 − E)
2 =
E
5
0
30
En déduire l’expression de la vie moyenne
1
τ
=Γ∼
G
2
F E
5
0
60π 3 (c) 6
Quelle est la dimension de G F /(c)
3 ?E st im erG F à partir de la vie moyenne
τ ≃ 880 s et comparer avec la valeur précise
G F
(c) 3 =1.17 × 10
−5 GeV
−2
2. Montrer que la section efficace différentielle d’absorption des neutrinos
par les neutrons est donnée par
dσ
dΩ
=
2π
c
G
2
F |M fi |
2
Ep
(2π) 3 c 2
où E est l’énergie du positron e
+ et en déduire
σ tot ∼
1
π
G F
(c) 3
2
(c)
2 E
2
Vérifier que σ tot a bien les dimensions d’une surface. Estimer numériquement
σ tot pour des neutrinos solaires de 8 MeV, et en déduire que le libre parcours
moyen des neutrinos solaires dans la Terre se mesure en années-lumière.
3. La théorie de Fermi utilisée dans cet exercice donne une section efficace isotrope : l’interaction a lieu uniquement dans l’onde s, l =0 .E n
utilisant (13.51), montrer que le résultat obtenu pour la section efficace d’absorption ne peut pas être valable à très haute énergie et estimer l’énergie
au-delà de laquelle la théorie de Fermi doit être modifiée. Cette modification
est connue, c’est la théorie électro-faible de Glashow-Salam-Weinberg, composante du modèle standard qui unifie interactions faibles et électromagnétiques,
et où la constante de Fermi est reliée à la charge de l’électron et à la masse
des bosons W
± et Z
0 : G F ∼ e
2 /M
2
W .