13. Théorie de la diffusion
599
13.6.6 Section efficace d’absorption de neutrinos
L’objectif de l’exercice est de calculer la section efficace d’absorption des
neutrinos par des neutrons
ν + p → n + e
+
à partir de la vie moyenne du neutron, qui se désintègre suivant la réaction
(1.2)
n → p + e
− + ν
Ce calcul est possible car l’interaction responsable des deux phénomènes est la
même, l’interaction faible, et les deux processus peuvent être reliés. L’élément
de matrice de transition pour le calcul de la vie moyenne du neutron peut
s’écrire
T fi = G F M fi ϕ f |ϕ i
où les fonctions d’onde de l’état initial et de l’état final sont des ondes planes
normalisées dans un volume V et de la forme
1
√
V
e
i p· r/
G F est la constante de Fermi, ou constante de couplage des interactions
faibles, M fi un élément de matrice sans dimensions dépendant des spins
16 .
On appelle E 0 =(m n − m p )c
2 ≃ 1.2 MeV, l’énergie disponible dans la désintégration (on peut prendre à une excellente approximation m ν =0). Soit
p n =0
(supposant le neutron immobile),
P =
p p ,
p =
p e et q =
p ν les impulsions dans
l’état initial et dans l’état final, K = P
2 /(2m p ), E et cq l’énergie cinétique
du proton et l’énergie totale de l’électron et du neutrino. La conservation de
l’énergie-impulsion s’écrit
P +
p + q =0
K + E + cq = E 0
Montrer que l’on peut négliger K : K ≪ E, cq.S o i td Γ/dE, la probabilité de
désintégration du neutron, par unité d’énergie E de l’électron final. On peut
montrer qu’il n’y a pas de corrélations entre l’impulsion de l’électron et celle
du neutrino. Montrer que, dans ces conditions, la probabilité de transition
s’écrit en fonction de la densité d’états D de l’électron et du neutrino
dΓ
dE
=
2π
G
2
F |M fi |
2 V
−2 D e (E)D ν (E − E 0 )
=
2π
G
2
F |M fi |
2
4π
(2π) 3
pE
c 2
4π
(2π) 3
(E 0 − E)
2
c 3
16. M fi dépend aussi de deux constantes sans dimension de l’ordre de 1, g V =1 ,l a
constante de couplage vectorielle, et g A =1 .25, la constante de couplage axiale.
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13.6.6 Section efficace d’absorption de neutrinos
L’objectif de l’exercice est de calculer la section efficace d’absorption des
neutrinos par des neutrons
ν + p → n + e
+
à partir de la vie moyenne du neutron, qui se désintègre suivant la réaction
(1.2)
n → p + e
− + ν
Ce calcul est possible car l’interaction responsable des deux phénomènes est la
même, l’interaction faible, et les deux processus peuvent être reliés. L’élément
de matrice de transition pour le calcul de la vie moyenne du neutron peut
s’écrire
T fi = G F M fi ϕ f |ϕ i
où les fonctions d’onde de l’état initial et de l’état final sont des ondes planes
normalisées dans un volume V et de la forme
1
√
V
e
i p· r/
G F est la constante de Fermi, ou constante de couplage des interactions
faibles, M fi un élément de matrice sans dimensions dépendant des spins
16 .
On appelle E 0 =(m n − m p )c
2 ≃ 1.2 MeV, l’énergie disponible dans la désintégration (on peut prendre à une excellente approximation m ν =0). Soit
p n =0
(supposant le neutron immobile),
P =
p p ,
p =
p e et q =
p ν les impulsions dans
l’état initial et dans l’état final, K = P
2 /(2m p ), E et cq l’énergie cinétique
du proton et l’énergie totale de l’électron et du neutrino. La conservation de
l’énergie-impulsion s’écrit
P +
p + q =0
K + E + cq = E 0
Montrer que l’on peut négliger K : K ≪ E, cq.S o i td Γ/dE, la probabilité de
désintégration du neutron, par unité d’énergie E de l’électron final. On peut
montrer qu’il n’y a pas de corrélations entre l’impulsion de l’électron et celle
du neutrino. Montrer que, dans ces conditions, la probabilité de transition
s’écrit en fonction de la densité d’états D de l’électron et du neutrino
dΓ
dE
=
2π
G
2
F |M fi |
2 V
−2 D e (E)D ν (E − E 0 )
=
2π
G
2
F |M fi |
2
4π
(2π) 3
pE
c 2
4π
(2π) 3
(E 0 − E)
2
c 3
16. M fi dépend aussi de deux constantes sans dimension de l’ordre de 1, g V =1 ,l a
constante de couplage vectorielle, et g A =1 .25, la constante de couplage axiale.