13. Théorie de la diffusion
597
où ρ est la densité volumique de noyaux. La limite r →∞donne un résultat
nul si l’on moyenne sur les oscillations et on en déduit
ϕ(z)=
1 − 2iπ
aρ δ
k
e
ikz
2. Indice de réfraction. Lorsque les neutrons traversent la lame, celle-ci se
comporte comme un milieu d’indice de réfraction n,q u i ,c o m m ee no p t i q u e ,
transforme le vecteur d’onde k → k
′ = nk ou de façon équivalente la longueur
d’onde λ → λ
′ = λ/n. En comparant avec le résultat de la question 1 lorsque
(n − 1)kδ ≪ 1, déduire
n =1−
2πaρ
k 2 =1−
aρλ
2
2π
Lorsque n<1, un faisceau de neutrons arrivant en incidence quasi-rasante
sur la surface plane d’un cristal peut subir une réflexion totale (la différence d’indice entre le vide et l’air est négligeable) : si l’angle d’incidence est
(π/2 − θ), θ ≪ 1, montrer que l’incidence critique est
θ c = λ
ρa
π
1/2
Estimer numériquement θ c pour des valeurs typiques : λ =1nm, ρ =10
29 m
−3
et a =1 0 fm. La propriété de réflexion totale est utilisée pour construire
des guides de neutrons, qui font partie des instruments de base de l’optique
neutronique.
3. Effets de spin : noyaux de spin 1/2. Dans les questions suivantes, on
étudie les effets liés au spin des neutrons et des noyaux. Reprenant les résultats
de l’exercice 3.3.9 et utilisant (13.46), montrer que les amplitudes f a , f b et f c
de cet exercice sont données en fonction des longueurs de diffusion triplet a t
et singulet a s pour des noyaux de spin 1/2 par
f a = −
1
2
(a t + a s )
f b = −
1
2
(a t − a s )
f c = −a t
Montrer que l’intensité diffusée par le cristal est
I =
1
16
(3a t + a s )
2
i,j
e
i q·( ri− rj ) +
3N
16
(a t − a s )
2
où N estlenom bredeno y auxdiffuseurs.LepremiertermedeI correspond à
une diffusion cohérente et le second à une diffusion incohérente (exercice 1.6.7).
On définit une section efficace cohérente et une section efficace incohérente en
intégrant I sur les angles
σ coh =
π
4
(3a t + a s )
2
σ inc =
3π
4
(a t − a s )
2
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où ρ est la densité volumique de noyaux. La limite r →∞donne un résultat
nul si l’on moyenne sur les oscillations et on en déduit
ϕ(z)=
1 − 2iπ
aρ δ
k
e
ikz
2. Indice de réfraction. Lorsque les neutrons traversent la lame, celle-ci se
comporte comme un milieu d’indice de réfraction n,q u i ,c o m m ee no p t i q u e ,
transforme le vecteur d’onde k → k
′ = nk ou de façon équivalente la longueur
d’onde λ → λ
′ = λ/n. En comparant avec le résultat de la question 1 lorsque
(n − 1)kδ ≪ 1, déduire
n =1−
2πaρ
k 2 =1−
aρλ
2
2π
Lorsque n<1, un faisceau de neutrons arrivant en incidence quasi-rasante
sur la surface plane d’un cristal peut subir une réflexion totale (la différence d’indice entre le vide et l’air est négligeable) : si l’angle d’incidence est
(π/2 − θ), θ ≪ 1, montrer que l’incidence critique est
θ c = λ
ρa
π
1/2
Estimer numériquement θ c pour des valeurs typiques : λ =1nm, ρ =10
29 m
−3
et a =1 0 fm. La propriété de réflexion totale est utilisée pour construire
des guides de neutrons, qui font partie des instruments de base de l’optique
neutronique.
3. Effets de spin : noyaux de spin 1/2. Dans les questions suivantes, on
étudie les effets liés au spin des neutrons et des noyaux. Reprenant les résultats
de l’exercice 3.3.9 et utilisant (13.46), montrer que les amplitudes f a , f b et f c
de cet exercice sont données en fonction des longueurs de diffusion triplet a t
et singulet a s pour des noyaux de spin 1/2 par
f a = −
1
2
(a t + a s )
f b = −
1
2
(a t − a s )
f c = −a t
Montrer que l’intensité diffusée par le cristal est
I =
1
16
(3a t + a s )
2
i,j
e
i q·( ri− rj ) +
3N
16
(a t − a s )
2
où N estlenom bredeno y auxdiffuseurs.LepremiertermedeI correspond à
une diffusion cohérente et le second à une diffusion incohérente (exercice 1.6.7).
On définit une section efficace cohérente et une section efficace incohérente en
intégrant I sur les angles
σ coh =
π
4
(3a t + a s )
2
σ inc =
3π
4
(a t − a s )
2