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Physique quantique : Exercices et applications
13.6.4 Approximation de Born
1. Calculer l’amplitude de diffusion f B ( q), q = k
′ − k, à l’approximation
de Born lorsque le potentiel a la forme dite de Yukawa
V (r)=V 0
e
−µr
μr
En déduire dσ/dΩ et σ tot .
2. Examiner la limite μ → 0 avec V 0 /μ → e
2 = cste : le potentiel de
Yukawa tend vers le potentiel coulombien V (r)=e
2 /r.M o n t r e rq u e
dσ
dΩ
=
e
4
16E 2 sin
4 θ/2
(13.153)
où E =
2 k
2 /(2m) est l’énergie incidente. Ce résultat a été obtenu par Rutherford en utilisant un raisonnement de mécanique classique (la mécanique
quantique n’existait pas encore !), et il est appelé section efficace de Rutherford. C’est aussi le résultat obtenu par un traitement rigoureux du potentiel
coulombien en mécanique quantique. Il est remarquable que l’approximation
de Born, dont la validité est plus que douteuse dans ce cas, donne le résultat
correct pour la section efficace (mais non pour l’amplitude f (θ)).
13.6.5 Optique neutronique
1. Diffusion par une lame mince. On considère un faisceau de neutrons
de basse énergie de vecteur d’onde k dans le vide, qui traverse une lame très
mince d’épaisseur δ perpendiculairement à cette lame ; dans un premier temps,
on néglige les effets liés au spin. Les neutrons sont détectés après leur passage
dans la lame en un point d’ordonnée z sur l’axe Oz perpendiculaire à la lame,
l’origine O étant choisie au centre de la lame. Si un neutron est diffusé par
un noyau de la lame situé à une distance s de O, montrer que l’amplitude de
probabilité pour observer le neutron diffusé en z est
ϕ s = −
a
r
e
ikr
r =
s 2 + z 2
où a est la longueur de diffusion. L’amplitude de probabilité pour trouver un
neutron en z est la somme de l’onde incidente exp(ikz) et de l’onde diffusée
par la lame
ϕ(z)=e
ikz − a
e
ikr
r
où la somme porte sur tous les noyaux de la lame ; en déduire
ϕ(z)=e
ikz − 2πaρ δ
e
ikr
ik
∞
z
Physique quantique : Exercices et applications
13.6.4 Approximation de Born
1. Calculer l’amplitude de diffusion f B ( q), q = k
′ − k, à l’approximation
de Born lorsque le potentiel a la forme dite de Yukawa
V (r)=V 0
e
−µr
μr
En déduire dσ/dΩ et σ tot .
2. Examiner la limite μ → 0 avec V 0 /μ → e
2 = cste : le potentiel de
Yukawa tend vers le potentiel coulombien V (r)=e
2 /r.M o n t r e rq u e
dσ
dΩ
=
e
4
16E 2 sin
4 θ/2
(13.153)
où E =
2 k
2 /(2m) est l’énergie incidente. Ce résultat a été obtenu par Rutherford en utilisant un raisonnement de mécanique classique (la mécanique
quantique n’existait pas encore !), et il est appelé section efficace de Rutherford. C’est aussi le résultat obtenu par un traitement rigoureux du potentiel
coulombien en mécanique quantique. Il est remarquable que l’approximation
de Born, dont la validité est plus que douteuse dans ce cas, donne le résultat
correct pour la section efficace (mais non pour l’amplitude f (θ)).
13.6.5 Optique neutronique
1. Diffusion par une lame mince. On considère un faisceau de neutrons
de basse énergie de vecteur d’onde k dans le vide, qui traverse une lame très
mince d’épaisseur δ perpendiculairement à cette lame ; dans un premier temps,
on néglige les effets liés au spin. Les neutrons sont détectés après leur passage
dans la lame en un point d’ordonnée z sur l’axe Oz perpendiculaire à la lame,
l’origine O étant choisie au centre de la lame. Si un neutron est diffusé par
un noyau de la lame situé à une distance s de O, montrer que l’amplitude de
probabilité pour observer le neutron diffusé en z est
ϕ s = −
a
r
e
ikr
r =
s 2 + z 2
où a est la longueur de diffusion. L’amplitude de probabilité pour trouver un
neutron en z est la somme de l’onde incidente exp(ikz) et de l’onde diffusée
par la lame
ϕ(z)=e
ikz − a
e
ikr
r
où la somme porte sur tous les noyaux de la lame ; en déduire
ϕ(z)=e
ikz − 2πaρ δ
e
ikr
ik
∞
z