13. Théorie de la diffusion
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5. On peut prouver que pour un potentiel décroissant plus vite que
exp(−μr) lorsque r →∞ , g(k) est analytique dans le demi-plan Im k<μ / 2,
et on admettra ce résultat dans la suite de l’exercice. Montrer que si S(k) a
un pôle sur l’axe imaginaire, k = iκ, 0 <κ<μ / 2, alors ce pôle correspond à
un état lié du potentiel. Montrer que si S(k) aunpôleàk = h − ib, |b| <μ/2,
alors nécessairement b>0.
6. Le cas du pôle à k = h − ib, b>0, est celui d’une résonance.M o n t r e r
qu’un choix pour S(k) satisfaisant aux conditions de la question 3 est
S(k)=
(k − h − ib)(k + h − ib)
(k − h + ib)(k + h + ib)
≃
k − h − ib
k − h + ib
pour k ∼ h
Supposant b ≪ h, déterminer le comportement du déphasage δ(k) en fonction
de k en montrant que
cot δ =
h − k
b
En déduire que δ passe par π/2 pour k = h et que la section efficace se met
sous la forme dite de Breit-Wigner
σ(E)=
2π
2
ME
2 Γ
2 /4
(E − E 0 ) 2 + 2 Γ 2 /4
(13.152)
Relier E 0 et Γ à b et h.M o n t r e rq u eh =0correspond à un état virtuel.
7. Démontrer la relation
u
′ ∂u
∂k
− u
∂u
′
∂k
r
0
=2k
r
0
u
2 (r
′ )dr
′
u
′ =
∂u
∂r
En étudiant cette relation pour r → 0 et r →∞, montrer qu’au voisinage du
pôle k = iκ
S(k) ≃
−iN
2
k − iκ
8. Montrer que la fonction
k cot δ(k)=ik
g(k)+g(−k)
g(k) − g(−k)
est analytique en k au voisinage de k =0, tend vers une constante pour k → 0
et est une fonction paire de k. En déduire que l’on peut écrire
k cot δ(k)=−
1
a
+
1
2
r 0 k
2 + O(k
4 )
Démontrer les relations
r 0 =
2
κ
1 −
1
κa
N
2 =
2κ
1 − κr 0
qui relient les paramètres (κ, N ) du deutéron aux caractéristiques (a, r 0 )d e
la diffusion de basse énergie. Calculer r 0 sachant que B =2 .22 MeV et a =
5.40 fm, et comparer au résultat expérimental r 0 =1.73 fm.