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Physique quantique : Exercices et applications
5. Calculer la section efficace totale neutron-orthohydrogène en supposant
la molécule non polarisée. Suggestion
Tr(A ⊗ B)
2 =(Tr A
2 )(Tr B
2 )
13.6.3 Propriétés analytiques de l’amplitude de diffusion
neutron-proton
L’objectif de cet exercice est de relier les propriétés des états liés et des
résonances à l’amplitude de diffusion. On se limitera à l’onde s. On négligera
la différence de masse neutron-proton et on définira M ≃ m p ≃ m n : la masse
réduite est donc M/2. On néglige tout effet lié au spin.
1. Soit u(r) la fonction d’onde radiale (réelle) d’un état lié, en l’ocurrence
le deutéron. Elle est caractérisée par son comportement asymptotique et sa
normalisation N
r →∞
u(r) ≃ N e
−κr avec
∞
0
u
2 (r) dr =1
Montrer que dans le cas du puits sphérique de la figure 13.4, de portée R et
de profondeur V 0
N
2 =
2κk
′ 2 e
2κr
(κ 2 + k ′ 2 )(1 + κR)
avec k
′ =
M (V 0 − B), κ =
√
MB, B étant l’énergie de liaison. Tracer
qualitativement u(r).
2. Soit g(k, r), une solution de l’équation radiale se comportant asymptotiquement comme
r →∞ :
g(k, r) ∝ e
−ikr avec k =
√
ME
Montrer que la fonction d’onde u(k, r) est donnée par
u(k, r)=g(−k, r)g(k) − g(k, −r)g(−k)
g(k)=g(k, r =0)
et que l’élément de matrice S, S(k) vaut
S(k)=e
2iδ(k) =
g(k)
g(−k)
3. On prolonge analytiquement g(k, r) à des valeurs complexes de k.Montrer que
g
∗ (k, r)=g(−k
∗ ,r)
S
∗ (k
∗ )=
1
S(k)
= S(−k)
4. Calculer g(k) et S(k) pour le puits sphérique et montrer que g(k) est
une fonction entière de k (c’est-à-dire analytique pour tout k).