13. Théorie de la diffusion
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13.6.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une
molécule d’hydrogène
1. On considère dans un premier temps la diffusion d’une particule par les
deux noyaux 1 et 2 supposés différents d’une molécule diatomique, sans tenir
compte du spin. Le centre de la molécule est situé à l’origine des coordonnées,
et le détecteur à une distance r de la cible. Les noyaux 1 et 2 sont situés aux
points
R/2 et −
R/2,a v e cR ≪ r. Montrer que l’amplitude de diffusion par
la molécule est
f = a 1 exp
−
i
2
q ·
R
+ a 2 exp
i
2
q ·
R
où k est le vecteur d’onde des particules incidentes, k
′ = kˆ r, q = ( k
′ − k) le
transfert d’impulsion, tandis que a 1 et a 2 sont les longueurs de diffusion sur
les noyaux 1 et 2. Tracer la section efficace en fonction de l’angle θ entre k
′
et k lorsque qR ∼ 1.
2. On se place dans le cas de la diffusion de neutrons par une molécule
d’hydrogène en tenant compte du spin du neutron et des protons. On suppose
l’énergie suffisamment basse pour que qR ≪ 1. Quelle doit être la valeur de
l’énergie en eV pour que cette condition soit réalisée ? Si les neutrons sont
produits dans un réacteur, à quelle température doivent-ils être refroidis (cf.
§ 1.4.2) ? On définit le spin total
S de la molécule
S =
1
2
( σ 1 + σ 2 )
σ 1 et σ 2 sont les matrices de Pauli décrivant les spins des deux protons.
Montrer que l’amplitude de diffusion s’écrit dans l’espace des spins en fonction
des longueurs de diffusion a s et a t
ˆ
f =
1
2
(a s +3a t )I +
1
2
(a t − a s )( σ n ·
S)
3. Si l’on traite l’interaction neutron-proton au moyen d’un potentiel effectif (13.41), la constante g est fixée par les caractéristiques du potentiel. En
déduire qu’en raison d’un effet de masse réduite, on doit utiliser 4a/3 comme
longueur de diffusion sur les protons liés dans une molécule d’hydrogène, si
a est la longueur de diffusion d’un neutron sur un proton libre. La section
efficace est donc à multiplier par un facteur 16/9 : c’est l’effet de liaison chimique. Cet effet de masse réduite est présent pourvu que l’énergie du neutron
soit suffisamment faible pour ne pas pouvoir exciter les niveaux de vibration
de la molécule.
4. La molécule d’hydrogène peut exister dans deux états de spin : le parahydrogène de spin zéro et l’orthohydrogène de spin un. Quelle est la section
efficace totale neutron-parahydrogène ? Est-elle sensible au signe de a s ?
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13.6.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une
molécule d’hydrogène
1. On considère dans un premier temps la diffusion d’une particule par les
deux noyaux 1 et 2 supposés différents d’une molécule diatomique, sans tenir
compte du spin. Le centre de la molécule est situé à l’origine des coordonnées,
et le détecteur à une distance r de la cible. Les noyaux 1 et 2 sont situés aux
points
R/2 et −
R/2,a v e cR ≪ r. Montrer que l’amplitude de diffusion par
la molécule est
f = a 1 exp
−
i
2
q ·
R
+ a 2 exp
i
2
q ·
R
où k est le vecteur d’onde des particules incidentes, k
′ = kˆ r, q = ( k
′ − k) le
transfert d’impulsion, tandis que a 1 et a 2 sont les longueurs de diffusion sur
les noyaux 1 et 2. Tracer la section efficace en fonction de l’angle θ entre k
′
et k lorsque qR ∼ 1.
2. On se place dans le cas de la diffusion de neutrons par une molécule
d’hydrogène en tenant compte du spin du neutron et des protons. On suppose
l’énergie suffisamment basse pour que qR ≪ 1. Quelle doit être la valeur de
l’énergie en eV pour que cette condition soit réalisée ? Si les neutrons sont
produits dans un réacteur, à quelle température doivent-ils être refroidis (cf.
§ 1.4.2) ? On définit le spin total
S de la molécule
S =
1
2
( σ 1 + σ 2 )
σ 1 et σ 2 sont les matrices de Pauli décrivant les spins des deux protons.
Montrer que l’amplitude de diffusion s’écrit dans l’espace des spins en fonction
des longueurs de diffusion a s et a t
ˆ
f =
1
2
(a s +3a t )I +
1
2
(a t − a s )( σ n ·
S)
3. Si l’on traite l’interaction neutron-proton au moyen d’un potentiel effectif (13.41), la constante g est fixée par les caractéristiques du potentiel. En
déduire qu’en raison d’un effet de masse réduite, on doit utiliser 4a/3 comme
longueur de diffusion sur les protons liés dans une molécule d’hydrogène, si
a est la longueur de diffusion d’un neutron sur un proton libre. La section
efficace est donc à multiplier par un facteur 16/9 : c’est l’effet de liaison chimique. Cet effet de masse réduite est présent pourvu que l’énergie du neutron
soit suffisamment faible pour ne pas pouvoir exciter les niveaux de vibration
de la molécule.
4. La molécule d’hydrogène peut exister dans deux états de spin : le parahydrogène de spin zéro et l’orthohydrogène de spin un. Quelle est la section
efficace totale neutron-parahydrogène ? Est-elle sensible au signe de a s ?