592
Physique quantique : Exercices et applications
En déduire
p T (E) ≃ exp
−
E
E B
E B =2π
2 α
2 μc
2
avec α = e
2 /(c) ≃ 1/137.D o n n e rl av a l e u rd eE B en MeV.
3. Justifier la forme approchée de la section efficace de la réaction (13.150)
σ(E) ∼
4π
k 2 p T (E)
en admettant que la réaction nucléaire se produit dès que les noyaux entrent
en contact ; k est le vecteur d’onde E =
2 k
2 /(2μ).
4. D’après (13.1), le nombre de réactions nucléaires (13.150) par unité de
temps est n i n c vσ(v),o ùn i et n c sont les densités de noyaux incidents et
de noyaux cibles. Cependant, les vitesses n’ont pas une valeur fixée, et pour
obtenir le taux de réaction dans l’étoile, il faut moyenner sur la distribution
de Maxwell des vitesses
p M (v)=
μ
2πk B T
3/2
exp
−
μv
2
2k B T
La quantité physiquement pertinente est la moyenne vσ. En intégrant sur
les angles, montrer que
vσ =4π
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dvv
3 σ(v)exp
−
μv
2
2k B T
En déduire, en effectuant le changement de variables v → E
vσ =
16π
2
2
μ 3
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
(13.151)
Montrer que l’intégrand dans (13.72) exhibe un pic aigu pour une valeur
E = E 0 de l’énergie, avec
E 0 =
1
2
k B T
√
E B
2/3
et que la largeur ∆E de ce pic est donnée par
∆E ∝ E
1/6
B (k B T )
5/6
Ce pic est appelé pic de Gamow, et il détermine l’énergie E 0 pour laquelle la
réaction (13.150) a une probabilité maximale : le taux de réaction dans l’étoile
est contrôlé par E 0 . Estimer numériquement la position du pic et sa largeur.
Physique quantique : Exercices et applications
En déduire
p T (E) ≃ exp
−
E
E B
E B =2π
2 α
2 μc
2
avec α = e
2 /(c) ≃ 1/137.D o n n e rl av a l e u rd eE B en MeV.
3. Justifier la forme approchée de la section efficace de la réaction (13.150)
σ(E) ∼
4π
k 2 p T (E)
en admettant que la réaction nucléaire se produit dès que les noyaux entrent
en contact ; k est le vecteur d’onde E =
2 k
2 /(2μ).
4. D’après (13.1), le nombre de réactions nucléaires (13.150) par unité de
temps est n i n c vσ(v),o ùn i et n c sont les densités de noyaux incidents et
de noyaux cibles. Cependant, les vitesses n’ont pas une valeur fixée, et pour
obtenir le taux de réaction dans l’étoile, il faut moyenner sur la distribution
de Maxwell des vitesses
p M (v)=
μ
2πk B T
3/2
exp
−
μv
2
2k B T
La quantité physiquement pertinente est la moyenne vσ. En intégrant sur
les angles, montrer que
vσ =4π
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dvv
3 σ(v)exp
−
μv
2
2k B T
En déduire, en effectuant le changement de variables v → E
vσ =
16π
2
2
μ 3
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
(13.151)
Montrer que l’intégrand dans (13.72) exhibe un pic aigu pour une valeur
E = E 0 de l’énergie, avec
E 0 =
1
2
k B T
√
E B
2/3
et que la largeur ∆E de ce pic est donnée par
∆E ∝ E
1/6
B (k B T )
5/6
Ce pic est appelé pic de Gamow, et il détermine l’énergie E 0 pour laquelle la
réaction (13.150) a une probabilité maximale : le taux de réaction dans l’étoile
est contrôlé par E 0 . Estimer numériquement la position du pic et sa largeur.