13. Théorie de la diffusion
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à l’approximation de Born (13.136), les élements de matrice T sont donnés
par T ba = b|V |a et T ab = a|V |b = b|V |a
∗ . La section efficace étant proportionnelle à |T ab |
2 = |T ba |
2 , les sections efficaces du processus direct et du
processus inverse se déduisent l’une de l’autre à cet ordre. Ainsi que nous
venons de l’observer, cela n’est pas nécessairement vrai à tous les ordres du
développement de Born.
13.6 Exercices
13.6.1 Pic de Gamow
1. On se propose d’évaluer la section efficace de la réaction
2 H+
3 H →
4 He + n
(13.150)
à l’intérieur d’une étoile où règne une température de l’ordre de 10
7 K. Cette
réaction particulière a été choisie pour fixer les idées, mais ce qui suit s’applique à toute réaction nucléaire dans une étoile. Montrer que l’énergie cinétique des noyaux incidents
2 Het
3 H est de l’ordre du keV. Pourquoi les atomes
sont-ils complètement ionisés ? En physique nucléaire, la relation suivante est
souvent utile : dans un système d’unités où = c =1 , la relation entre le
fermi et le MeV s’écrit
1fm
−1 ≃ 200 MeV
Vérifier cette relation. Le potentiel V (r) entre les deux noyaux incidents est
le potentiel coulombien répulsif V (r)=e
2 /r pour r>Ret un potentiel
nucléaire attractif pour r ≤ R,a v e cR ≃ 1 fm. Montrer que e
2 /R est très
grand par rapport à l’énergie cinétique E des noyaux incidents.
2. Montrer qu’en physique classique les deux noyaux ne peuvent pas s’approcher à une distance plus faible que r 0 = e
2 /E, et la réaction nucléaire
(13.150) ne peut se produire. En physique quantique, la réaction est possible
grâce à l’effet tunnel. En utilisant (12.109), montrer que la probabilité d’effet
tunnel est
p T (E)=exp
−
2
r0
R
2μ
e
2
r
− E
1/2
dr
où μ est la masse réduite : E = μv
2 /2, v étant la vitesse relative des deux
noyaux. Montrer que μ ≃ (6/5)m p , où la masse du proton m p ≃ 940 MeV/c
2 .
Pour calculer p T (E), on pourra faire le changement de variables
u
2 =
e
2
r
− E
On donne l’intégrale indéfinie
u
2 du
(u 2 + a 2 ) 2 =
1
2a
tan
−1 u
a
−
u
2(u 2 + a 2 )
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à l’approximation de Born (13.136), les élements de matrice T sont donnés
par T ba = b|V |a et T ab = a|V |b = b|V |a
∗ . La section efficace étant proportionnelle à |T ab |
2 = |T ba |
2 , les sections efficaces du processus direct et du
processus inverse se déduisent l’une de l’autre à cet ordre. Ainsi que nous
venons de l’observer, cela n’est pas nécessairement vrai à tous les ordres du
développement de Born.
13.6 Exercices
13.6.1 Pic de Gamow
1. On se propose d’évaluer la section efficace de la réaction
2 H+
3 H →
4 He + n
(13.150)
à l’intérieur d’une étoile où règne une température de l’ordre de 10
7 K. Cette
réaction particulière a été choisie pour fixer les idées, mais ce qui suit s’applique à toute réaction nucléaire dans une étoile. Montrer que l’énergie cinétique des noyaux incidents
2 Het
3 H est de l’ordre du keV. Pourquoi les atomes
sont-ils complètement ionisés ? En physique nucléaire, la relation suivante est
souvent utile : dans un système d’unités où = c =1 , la relation entre le
fermi et le MeV s’écrit
1fm
−1 ≃ 200 MeV
Vérifier cette relation. Le potentiel V (r) entre les deux noyaux incidents est
le potentiel coulombien répulsif V (r)=e
2 /r pour r>Ret un potentiel
nucléaire attractif pour r ≤ R,a v e cR ≃ 1 fm. Montrer que e
2 /R est très
grand par rapport à l’énergie cinétique E des noyaux incidents.
2. Montrer qu’en physique classique les deux noyaux ne peuvent pas s’approcher à une distance plus faible que r 0 = e
2 /E, et la réaction nucléaire
(13.150) ne peut se produire. En physique quantique, la réaction est possible
grâce à l’effet tunnel. En utilisant (12.109), montrer que la probabilité d’effet
tunnel est
p T (E)=exp
−
2
r0
R
2μ
e
2
r
− E
1/2
dr
où μ est la masse réduite : E = μv
2 /2, v étant la vitesse relative des deux
noyaux. Montrer que μ ≃ (6/5)m p , où la masse du proton m p ≃ 940 MeV/c
2 .
Pour calculer p T (E), on pourra faire le changement de variables
u
2 =
e
2
r
− E
On donne l’intégrale indéfinie
u
2 du
(u 2 + a 2 ) 2 =
1
2a
tan
−1 u
a
−
u
2(u 2 + a 2 )