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Physique quantique : Exercices et applications
L’approximation de Born consiste à remplacer Ψ
(+)
a
et Ψ
(−)
b
par des ondes
planes
T B (a → b)=Φ b |V β |Φ a = Φ b |V α |Φ a
(13.136)
Comme application de (13.133), nous allons généraliser aux collisions inélastiques la relation d’unitarité (13.105). De l’équation (13.134) et de
Ψ
(+)
a
=
I +
1
E − H + iη
V α
Φ a
Ψ
(−)
b
=
I +
1
E − H − iη
V β
Φ b
(13.137)
on déduit une expression opératorielle pour les éléments de matrice T
b|T |a = Φ b |V β |Φ a + Φ b |V β
1
E − H + iη
V α |Φ a
b|T
† |a = Φ b |V α |Φ a + Φ b |V β
1
E − H − iη
V α |Φ a
(13.138)
En soustrayant membre à membre ces égalités et en tenant compte de (13.136),
on obtient la relation d’unitarité
b|(T − T
† )|a = −2iπΦ b |V β δ(E − H)V α |Φ a
(13.139)
Pour transformer cette équation, on introduit un système complet d’états
|Ψ
(+)
n et |Ψ
(−)
n , en y ajoutant éventuellement des états liés |Ψ B
(2π)
−3
n
|Ψ
(−)
n Ψ
(−)
n | =(2π)
−3
n
|Ψ
(+)
n Ψ
(+)
n | = I
ce qui donne pour le second membre de (13.139)
1
2i
b|(T − T
† )|a = −π
ν
D ν (E)
b|T
† |ndΩ ν n|T |a
(13.140)
où |n représente une onde plane et nous avons utilisé
Φ b |V β |Ψ
(+)
n = b|T |n
13.5.4 Symétries de la matrice T
LapropriétédesymétrielaplusimportantedelamatriceT est celle liée au
renversement du sens du temps (annexe A2). Soit Θ l’opérateur antiunitaire
correspondant et
Φ Θa =ΘΦ a
Φ Θb =ΘΦ b
(13.141)