13. Théorie de la diffusion
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où nous avons pris la limite R →∞dans le second membre de (13.127). En
utilisant la même stratégie que dans le § 13.4.2, nous obtenons
ν=α,β
2
2m ν
W
[ ˆ
Ψ
(−)
b ]
∗ , Ψ
(+)
a
= ˆ
Ψ
(−)
b |(H − ˆ
H)|Ψ
(+)
a
(13.128)
avec
W (f, g) = lim
R→∞
f
∂g
∂r
− g
∂f
∂r
R
2 dΩ r
(13.129)
En raison de ϕ β |ϕ α = δ αβ ,lecalculdeW ([ ˆ
Ψ
(−)
b ]
∗ , Ψ
(+)
a ) dépend uniquement
de deux contributions : (1) celle de l’onde plane dans ˆ
Ψ
(−)
b
associée à l’onde
sortante dans Ψ
(+)
a
et (2) celle de l’onde plane dans Ψ
(+)
a
associée à l’onde
entrante dans ˆ
Ψ
(−)
b , et (13.128) donne
−
2π
2
m β
f
(+)
βa (Ω b )+
2π
2
m α
[ ˆ
f
(−)
αb ]
∗ (−Ω a )= ˆ
Ψ
(−)
b |(H − ˆ
H)|Ψ
(+)
a
(13.130)
Comme première application de (13.130), choisissons H = ˆ
H avec comme
résultat
1
m β
f
(+)
βa (Ω b )=
1
m α
[f
(−)
αb ]
∗ (−Ω a )
(13.131)
On peut définir une matrice ˆ
T correspondant au potentiel ˆ
V par analogie avec
(13.123)
b| ˆ
T |a = −
2π
2
m α
[ ˆ
f
(−)
αb ]
∗ (−Ω a )
(13.132)
L’équation (13.130) s’écrit en fonction des éléments de matrice de T et ˆ
T
b|T |a−−b| ˆ
T |a = ˆ
Ψ
(−)
b |(H − ˆ
H)|Ψ
(+)
a
(13.133)
Par convention, b| ˆ
T |a =0si la voie α est fermée à l’onde ˆ
Ψ
(−)
b ,e ti n v e r s e -
ment b|T |a =0si la voie β est fermée à l’onde Ψ
(+)
a . Si l’on choisit ˆ
H = H β ,
H − H β = V β ,a l o r s ˆ
Ψ
(−)
b
se réduit à l’onde plane Φ b , et (13.123) à
b|T |a = Φ b |V β |Ψ
(+)
a
(13.134)
Une seconde formule pour b|T |a se déduit de (13.130), si l’on choisit H = H α
et ˆ
H = H
b|T |a = Ψ
(−)
b |V α |Φ a
(13.135)