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Physique quantique : Exercices et applications
tandis que celui de Ψ
(−)
b
est en onde plane plus onde sphérique entrante dans
la voie β et en onde sphérique entrante dans la voie α
Voie β :Ψ
(−)
b
≃
r→∞
ϕ β
e
i k b · r + f
(−)
βb (Ω β )
e
−ik b r
r
Voie α :
≃
r→∞
ϕ α f
(−)
αb (Ω α )
e
−ikar
r
(13.121)
La section efficace inélastique dσ(a → b)/dΩ b d’émission de la particule B
dans la direction Ω b =Ω β se déduit de (13.120) : elle fait intervenir le rapport
du flux de particules finales B à celui des particules initiales A,e td o n cl e
rapport des vitesses dans le centre de masse, v b /v a
dσ(a → b)
dΩ b
=
v b
v a
f
(+)
βa (Ω b )
2
(13.122)
Comme au § 13.4.2, on introduit les éléments de matrice T entre ondes planes
T (a → b)=b|T |a = −
2π
2
m β
f
(+)
βa (Ω b )
(13.123)
d’où une expression alternative de la section efficace qui fait intervenir la
densité d’états finaux D b (E) (8.136) pour V =1
dσ(a → b)
dΩ b
=
2π
v a
T (a → b)
2
D b (E)
(13.124)
Écrivons les équations de Schrödinger pour Ψ
(+)
a
et ˆ
Ψ
(−)
b
avec des hamiltoniens
respectifs H et ˆ
H, pour une même valeur E de l’énergie
HΨ
(+)
a
= EΨ
(+)
a
ˆ
H ˆ
Ψ
(−)
b
= E ˆ
Ψ
(−)
b
(13.125)
Compte tenu de
H = −
ν=α,β
2
2m ν
∇
2
ν + h int + V
ˆ
H = −
ν=α,β
2
2m ν
∇
2
ν + h int + ˆ
V
(13.126)
on déduit
r≤R
d
3 r
⎡
⎣ [ ˆ
Ψ
(−)
b ]
∗
ν=α,β
2
2m ν
∇
2
ν Ψ
(+)
a
−
ν=α,β
2
2m ν
∇
2
ν [ ˆ
Ψ
(−)
b ]
∗
Ψ
(+)
a
⎤
⎦
= ˆ
Ψ
(−)
b |(H − ˆ
H)|Ψ
(+)
a
(13.127)