13. Théorie de la diffusion
585
et (13.114) : inélastique
14 . Ce cas suffira pour comprendre le raisonnement à
suivre dans le cas général : voir aussi l’exercice 13.6.8. Un ensemble (A, X),
(B, Y ), etc. est appelé ensemble de voies possibles pour la réaction. Toutes les
voies ne sont pas nécessairement accessibles, car pour qu’une voie soit ouverte,
il faut une énergie suffisante. Nous appelons (A, X) la voie α et (B, Y ) la
voie β : ϕ α et ϕ β désignent les états internes comme l’état de spin, h α et h β
les hamiltoniens h int des degrés de liberté internes
h α ϕ α = e α ϕ α
h β ϕ β = e β ϕ β
(13.116)
Le hamiltonien dans les voies α et β s’écrit
Voie α : H = −
2
2m α
∇
2
α + h α + V α = H α + V α
Voie β : H = −
2
2m β
∇
2
β + h β + V β = H β + V β
(13.117)
Le potentiel V α est celui du système {A, X} et V β celui du système {B, Y }.
Les collisions seront toujours décrites dans le référentiel du centre de masse et
les sections efficaces seront toujours données dans ce référentiel. Les variables
dynamiques comme l’énergie totale E, le vecteur d’onde k dans une voie donnée, etc. seront celles du centre de masse ; les masses m α et m β seront donc
les masses réduites
m α =
m A m X
m A + m X
m β =
m B m Y
m B + m Y
(13.118)
La conservation de l’énergie s’écrit
E = e α +
2
k
2
α
2m α
= e β +
2
k
2
β
2m β
(13.119)
À chaque voie, on peut associer une onde plane ϕ exp(i k · r) et une onde
sphérique que l’on choisit sortante pour la voie α et entrante pour la voie β.
L’indice a désigne l’ensemble ( k α ,α)e tl ’ i n d i c eb l’ensemble ( k β ,β). Le comportement asymptotique
15 de Ψ
(+)
a
est en onde plane plus onde sphérique
sortante dans la voie α et en onde sphérique sortante dans la voie β
Voie α :Ψ
(+)
a
≃
r→∞
ϕ α
e
i ka· r + f
(+)
αa (Ω α )
e
ikar
r
Voie β :
≃
r→∞
ϕ β f
(+)
βa (Ω β )
e
ik b r
r
(13.120)
14. Voir Messiah [1959], chapitre XIX pour une étude plus complète.
15. Nous utilisons des lettres majuscules afin de distinguer ϕa ( é t a ti n t e r n e )d eΦa (onde
plane).
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et (13.114) : inélastique
14 . Ce cas suffira pour comprendre le raisonnement à
suivre dans le cas général : voir aussi l’exercice 13.6.8. Un ensemble (A, X),
(B, Y ), etc. est appelé ensemble de voies possibles pour la réaction. Toutes les
voies ne sont pas nécessairement accessibles, car pour qu’une voie soit ouverte,
il faut une énergie suffisante. Nous appelons (A, X) la voie α et (B, Y ) la
voie β : ϕ α et ϕ β désignent les états internes comme l’état de spin, h α et h β
les hamiltoniens h int des degrés de liberté internes
h α ϕ α = e α ϕ α
h β ϕ β = e β ϕ β
(13.116)
Le hamiltonien dans les voies α et β s’écrit
Voie α : H = −
2
2m α
∇
2
α + h α + V α = H α + V α
Voie β : H = −
2
2m β
∇
2
β + h β + V β = H β + V β
(13.117)
Le potentiel V α est celui du système {A, X} et V β celui du système {B, Y }.
Les collisions seront toujours décrites dans le référentiel du centre de masse et
les sections efficaces seront toujours données dans ce référentiel. Les variables
dynamiques comme l’énergie totale E, le vecteur d’onde k dans une voie donnée, etc. seront celles du centre de masse ; les masses m α et m β seront donc
les masses réduites
m α =
m A m X
m A + m X
m β =
m B m Y
m B + m Y
(13.118)
La conservation de l’énergie s’écrit
E = e α +
2
k
2
α
2m α
= e β +
2
k
2
β
2m β
(13.119)
À chaque voie, on peut associer une onde plane ϕ exp(i k · r) et une onde
sphérique que l’on choisit sortante pour la voie α et entrante pour la voie β.
L’indice a désigne l’ensemble ( k α ,α)e tl ’ i n d i c eb l’ensemble ( k β ,β). Le comportement asymptotique
15 de Ψ
(+)
a
est en onde plane plus onde sphérique
sortante dans la voie α et en onde sphérique sortante dans la voie β
Voie α :Ψ
(+)
a
≃
r→∞
ϕ α
e
i ka· r + f
(+)
αa (Ω α )
e
ikar
r
Voie β :
≃
r→∞
ϕ β f
(+)
βa (Ω β )
e
ik b r
r
(13.120)
14. Voir Messiah [1959], chapitre XIX pour une étude plus complète.
15. Nous utilisons des lettres majuscules afin de distinguer ϕa ( é t a ti n t e r n e )d eΦa (onde
plane).